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Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 So 09.10.2005
Autor: stevarino

Hallo

Hab folgendes Beispiel bestimmen sie eine orthogonal Matrix S das gilt

[mm] S^{-1} \pmat{ 7 & -2&1 \\ -2&10 & -2\\1&-2&7 }S [/mm] eine Diagonalmatrix ist

also wieder Eigenwerte bestimmem  [mm] \lambda_{1,2}=6 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=12 [/mm]


jetzt Eigenvektoren für [mm] \lambda_{1,2}=6 [/mm]
[mm] x_{1}=x_{2}=x_{3} [/mm]

[mm] x_{1,2}= \vektor{0\\ 0\\0} [/mm]

jetzt Eigenvektoren für [mm] \lambda_{3}=12 [/mm]
[mm] x_{1}=0 [/mm]
[mm] x_{2}=-2x_{3} [/mm]

[mm] x_{3}=\vektor{0\\ 1\\\bruch{-1}{2}} [/mm]

also ist [mm] S=\pmat{ 0& 0&0 \\ 0 & 0&1\\0&0& \bruch{-1}{2}} [/mm]

wie erkenne ich die richtige Reihenfolge der Spaltenvektoren den bei einem   ähnlichen Beispiel hab ich die Probe gemacht da war sie einmal falsch dann hab ich die Reihenfolge der Spaltenvektoren geändert und dann hats gepasst.

wie kann ich die S Matrix überprüfen ob sie stimmt denn die Inverse der oberen Matrix kann ich nicht bilden was mich zum Schluss bringt das die Matrix S nicht stimmen kann?

Was hab ich falsch gemacht????????

Danke Stevo

        
Bezug
Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 09.10.2005
Autor: DaMenge

Hallo,

du hast eigentlich nur einen aber gravierenden Fehler gemacht :

> jetzt Eigenvektoren für [mm]\lambda_{1,2}=6[/mm]
>  [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{1,2}= \vektor{0\\ 0\\0}[/mm]


1) der Nullvektor ist NIEMALS ein Eigenwektor
(aber 0 kann Eigenwert sein)

2) aus [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}[/mm] folg [mm] $t*\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] als ein Eigenvektor.

3) du hast 6 als doppelten Eigenwert - d.h. du brauchst auch zwei unabhängige Eigenvektoren zu diesem Eigenwert, wenn die Matrix diagonalisierbar sein soll.
Also wenn der Eigenraum zum Eigenwert 6 zweidimensional ist, dann findest du auch zwei lin.unabhängige Eigenvektoren - wenn er es nicht ist, dann ist die Matrix auch nicht diagonalisierbar (Stichwort Jordan-Normalform)

Also - entweder du schreibst auf, wie du auf deine Ergebnisse gekommen bist oder du versuchst nochmal selbst deinen Fehler zu finden (wenn der Eigenraum überhaupt 2-dimensional ist)


>  
> jetzt Eigenvektoren für [mm]\lambda_{3}=12[/mm]
>  [mm]x_{1}=0[/mm]
>  [mm]x_{2}=-2x_{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{3}=\vektor{0\\ 1\\\bruch{-1}{2}}[/mm]


ich kann gerade leider nicht kontrollieren ,was die Eigenwerte sind, aber den Eigenvektor, den du da raus hast, ist offensichtlich keiner, wenn man ihn mal einsetzt...
(oder ich hab emich gerade im Kopf verrechnet)

Also auch hier nochmal überprüfen oder hier mal aufschreiben ,falls du es nicht findest.

> wie erkenne ich die richtige Reihenfolge der
> Spaltenvektoren den bei einem   ähnlichen Beispiel hab ich
> die Probe gemacht da war sie einmal falsch dann hab ich die
> Reihenfolge der Spaltenvektoren geändert und dann hats
> gepasst.


das hört sich komisch an - die reihenfolge der Spaltenvektoren sollte iegentlich nur die reihenfolge der Diagonalelemente beeinflussen - Also schreib doch mal dieses Beispiel auf, dann schauen wir mal ..

>  
> wie kann ich die S Matrix überprüfen ob sie stimmt denn die
> Inverse der oberen Matrix kann ich nicht bilden was mich
> zum Schluss bringt das die Matrix S nicht stimmen kann?


der Schluss ist richtig.
Überprüfen geht einfach durch ausrechnen : wenn du S und die Inverse hast, dann berechne doch mal das Produkt...
(in einem Programm deiner Wahl zum Beispiel)
Dann sollte die Diagonalmatrix rauskommen.


viele Grüße
DaMenge
Bezug
                
Bezug
Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 09.10.2005
Autor: stevarino

Hallo

also ich hab das so gerechnet

[mm] \vmat{ 7-\lambda &- 2 &1\\ -2 & 10- \lambda&-2\\1&-2&7-\lambda} [/mm]
[mm] =-(\lambda-6)(\lambda^{2}-18\lambda+72) [/mm]

so kommt man auf [mm] \lambda_{1,2}=6 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=12 [/mm]

dann bekommt man für [mm] \lambda_{1,2} [/mm] folgendes Gleichungssystem

   [mm] x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0 [/mm]
[mm] -2x_{1}+4 x_{2}-2x_{3}=0 [/mm]
   [mm] x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0 [/mm]
[mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=1 [/mm]

wie bekommt man dann noch einen unabhängigen Vektor für [mm] \lambda_{2}=6 [/mm]

[mm] \lambda_{3}=12 [/mm]
[mm] -5x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0 [/mm]
[mm] -2x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=0 [/mm]
   [mm] x_{1}-2 x_{2}-5 x_{3}=0 [/mm]
  
[mm] x_{1}=2x_{2}+5 x_{3} [/mm]

[mm] -5(2x_{2}+5 x_{3})-2 x_{2}+ x_{3}=0 [/mm]
[mm] -2(2x_{2}+5 x_{3})-2 x_{2}-2 x_{3}=0 [/mm]

[mm] -10x_{2}-25 x_{3} [/mm] -2  [mm] x_{2}+ x_{3}=0 [/mm]
  [mm] -4x_{2}-10 x_{3})-2 x_{2}-2 x_{3}=0 [/mm]

[mm] -12x_{2}-24 x_{3}=0 [/mm]
  [mm] -6x_{2}-12 x_{3}=0 [/mm]

[mm] -12x_{2}=24 x_{3} [/mm]
  [mm] -6x_{2}=12 x_{3} [/mm]
[mm] x_{2}=-2x_{3} [/mm]


[mm] x_{1}=2(-2x_{3})+5 x_{3} [/mm]
[mm] x_{1}=-4x_{3}+5 x_{3} [/mm]
[mm] x_{1}=x_{3} [/mm]



x= [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1} [/mm] aber das stimmt ja auch nicht??????



Stevo





Bezug
                        
Bezug
Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 So 09.10.2005
Autor: Bastiane

Hallo!

> also ich hab das so gerechnet
>  
> [mm]\vmat{ 7-\lambda &- 2 &1\\ -2 & 10- \lambda&-2\\1&-2&7-\lambda}[/mm]
>  
> [mm]=-(\lambda-6)(\lambda^{2}-18\lambda+72)[/mm]
>  
> so kommt man auf [mm]\lambda_{1,2}=6[/mm] und [mm]\lambda_{3}=12[/mm]

[daumenhoch]
  
> dann bekommt man für [mm]\lambda_{1,2}[/mm] folgendes
> Gleichungssystem
>  
> [mm]x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>  [mm]-2x_{1}+4 x_{2}-2x_{3}=0[/mm]
>    
> [mm]x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>   [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=1[/mm]
> wie bekommt man dann noch einen unabhängigen Vektor für
> [mm]\lambda_{2}=6[/mm]

Naja, setze doch einfach mal ein paar andere Zahlen ein. Setzen wir doch einfach mal [mm] x_2=0, [/mm] dann erhalten [mm] x_1=-x_3, [/mm] also können wir zum Beispiel wählen:
[mm] \vektor{1\\0\\-1} [/mm]

> [mm]\lambda_{3}=12[/mm]
>  [mm]-5x_{1}-2 x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>  [mm]-2x_{1}-2 x_{2}-2 x_{3}=0[/mm]
>    
> [mm]x_{1}-2 x_{2}-5 x_{3}=0[/mm]
>    
> [mm]x_{1}=2x_{2}+5 x_{3}[/mm]
>  
> [mm]-5(2x_{2}+5 x_{3})-2 x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>  [mm]-2(2x_{2}+5 x_{3})-2 x_{2}-2 x_{3}=0[/mm]
>  
> [mm]-10x_{2}-25 x_{3}[/mm] -2  [mm]x_{2}+ x_{3}=0[/mm]
>    [mm]-4x_{2}-10 x_{3})-2 x_{2}-2 x_{3}=0[/mm]
>  
> [mm]-12x_{2}-24 x_{3}=0[/mm]
>    [mm]-6x_{2}-12 x_{3}=0[/mm]
>  
> [mm]-12x_{2}=24 x_{3}[/mm]
> [mm]-6x_{2}=12 x_{3}[/mm]
>  [mm]x_{2}=-2x_{3}[/mm]
>  
>
> [mm]x_{1}=2(-2x_{3})+5 x_{3}[/mm]
>  [mm]x_{1}=-4x_{3}+5 x_{3}[/mm]
>  
> [mm]x_{1}=x_{3}[/mm]

[ok]  

> x= [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 1}[/mm] aber das stimmt ja auch nicht??????

Nein, es ist doch [mm] x_2=-2. [/mm] Somit haben wir folgende Matrix:

[mm] S=\pmat{1&1&1\\1&0&-2\\1&-1&1} [/mm]

Probierst du's mal damit?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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