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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:33 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Das Kompaktum K ist in einen QUader
Q= [mm] I_1 \times [/mm] .. [mm] \times I_n [/mm] ( [mm] I_s \subset [/mm] R kompaktes Intervall)
Zu jedem s=1,..,n wählen wir eine stetige Funktion [mm] \phi_s [/mm] : [mm] \IR-> \IR [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
i) 0 [mm] \le \phi_s [/mm] (t) [mm] \le [/mm] 1 für alle t [mm] \in \IR
[/mm]
ii) [mm] \phi_s [/mm] (t)=1 für alle t [mm] \in I_s
[/mm]
iii) [mm] \phi_s [/mm] hat kompakten Träger
Wir defenieren eine Funktion [mm] \Phi: \IR^n [/mm] -> [mm] \IR [/mm] durch
[mm] \Phi (x_1,.., x_n) [/mm] := [mm] \phi_1 (x_1) [/mm] * ...* [mm] \phi_n (x_n)
[/mm]
Nun wird weiter behauptet :
Es gilt dann [mm] \Phi \in C_c (\IR^n) [/mm] (Stetige Funkionen mit kompakten Träger, [mm] \Phi \ge [/mm] 0 und [mm] \Phi_{|K} [/mm] =1 |
Meine Fragen:
Was ist den denn Träger von [mm] \Phi (x_1,.., x_n) [/mm] := [mm] \phi_1 (x_1) [/mm] * ...* [mm] \phi_n (x_n) [/mm] ?
Ist das die Vereinigung der Träger von [mm] \phi_i [/mm] oder wie bildet man den?
Wieso gilt: [mm] \Phi_{|K} [/mm] =1 ?? (wahrscheinlich folgt das aus ii) und iii) aber ich seh es nicht ganz)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das Kompaktum K ist in einen QUader
> Q= [mm]I_1 \times[/mm] .. [mm]\times I_n[/mm] ( [mm]I_s \subset[/mm] R kompaktes
> Intervall)
> Zu jedem s=1,..,n wählen wir eine stetige Funktion [mm]\phi_s[/mm]
> : [mm]\IR-> \IR[/mm] mit folgenden Eigenschaften:
> i) 0 [mm]\le \phi_s[/mm] (t) [mm]\le[/mm] 1 für alle t [mm]\in \IR[/mm]
> ii) [mm]\phi_s[/mm]
> (t)=1 für alle t [mm]\in I_s[/mm]
> iii) [mm]\phi_s[/mm] hat kompakten
> Träger
>
>
> Wir defenieren eine Funktion [mm]\Phi: \IR^n[/mm] -> [mm]\IR[/mm] durch
> [mm]\Phi (x_1,.., x_n)[/mm] := [mm]\phi_1 (x_1)[/mm] * ...* [mm]\phi_n (x_n)[/mm]
>
> Nun wird weiter behauptet :
> Es gilt dann [mm]\Phi \in C_c (\IR^n)[/mm] (Stetige Funkionen mit
> kompakten Träger, [mm]\Phi \ge[/mm] 0 und [mm]\Phi_{|K}[/mm] =1
> Meine Fragen:
> Was ist den denn Träger von [mm]\Phi (x_1,.., x_n)[/mm] := [mm]\phi_1 (x_1)[/mm]
> * ...* [mm]\phi_n (x_n)[/mm] ?
> Ist das die Vereinigung der Träger von [mm]\phi_i[/mm] oder wie
> bildet man den?
Der Träger von [mm]\Phi (x_1,.., x_n)[/mm] ist doch die Menge
[mm]\{(x_1,.., x_n)\in \IR^n\mid \Phi (x_1,.., x_n)\not=0\} = \{(x_1,.., x_n)\in \IR^n\mid \phi_i(x_i)\not=0, i=1,\dots,n\} [/mm]
[mm] = \{x_1\mid \phi_1(x_1)\not=0\}\times\dots \times\{x_n\mid \phi_n(x_n)\not=0\}[/mm] ,
also das kartesische Produkt der Träger von [mm] $\phi_i$.
[/mm]
> Wieso gilt: [mm]\Phi_{|K}[/mm] =1 ?? (wahrscheinlich folgt das aus
> ii) und iii) aber ich seh es nicht ganz)
K ist eine Teilmenge des Quaders Q, und [mm] $\phi_i=1$ [/mm] auf [mm] I_i$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
Servus.
Die ANtwort zur Frage 1 hab ich verstanden. Danke dafür.
> K ist eine Teilmenge des Quaders Q, und $ [mm] $\phi_i=1$ [/mm] $ auf $ [mm] I_i$. [/mm] $
Ja aber $ [mm] \Phi (x_1,.., x_n) [/mm] $ := $ [mm] \phi_1 (x_1) [/mm] $ * ...* $ [mm] \phi_n (x_n) [/mm] $ . es sind doch nicht alle [mm] \phi_i (x_i) [/mm] = 1 auf [mm] I_1 [/mm] .. [mm] I_n? [/mm] Sondern jedes nur auf [mm] I_i [/mm] ...
Das verwirrt mich noch etwas.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 04.01.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Servus.
> Die ANtwort zur Frage 1 hab ich verstanden. Danke dafür.
>
>
> > K ist eine Teilmenge des Quaders Q, und $ [mm]$\phi_i=1$[/mm] $ auf
> $ [mm]I_i$.[/mm] $
> Ja aber [mm]\Phi (x_1,.., x_n)[/mm] := [mm]\phi_1 (x_1)[/mm] * ...* [mm]\phi_n (x_n)[/mm]
> . es sind doch nicht alle [mm]\phi_i (x_i)[/mm] = 1 auf [mm]I_1[/mm] .. [mm]I_n?[/mm]
> Sondern jedes nur auf [mm]I_i[/mm] ...
Ja und? Wenn [mm] $(x_1,.., x_n)\in I_1\times\dots\times I_n$ [/mm] ist, dann ist [mm] $x_1\in I_1$, [/mm] also [mm] $\phi_1(x_1)=1$. [/mm] Ebenso [mm] $x_2\in I_2$, [/mm] also [mm] \phi_2(x_2)=1, [/mm] usw., also [mm] $\Phi(x_1,.., x_n)=1$. [/mm] Mit anderen Worten: [mm] $\Phi=1$ [/mm] auf [mm] $I_1\times\dots\times I_n$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Fr 04.01.2013 | | Autor: | sissile |
Danke , langsam kann ich mir das vorstellen.. ;)
LG
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