Totales Differential < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | "In einem Stromkreis mit der Spannung U dem Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle sowie der Summe der äußeren Widerstände Ra genügt die elektr. Leistung P dem Gesetz
P=U²*Ra/(Ra + Ri)²
Mit Hilfe des totalen Differentials beweisen Sie, dass die rel. Leistungsänderung deltaP/P=-10%, wenn sowohl Ri als auch Ra eine rel. Änderung von deltaRi/Ri=+10% und deltaRa/Ra=+10% erfahren."
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Moin ich steh bei o.g. Aufgabe irgendwie auf dem Schlauch. Wär super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Bis jetzt hab ich die Funktion von P je einmal nach Ra und nach Ri abgeleitet und dann in die Gleichung: deltaP= Ableitung von P nach Ra*deltaRa + Ableitung von P nach Ri*delta Ri eingesetzt und wollte dann durch P teilen. Das klappt aber leider nicht so ganz.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/index.php/forum/Berechnung-mittels-totalem-Differential
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Hallo,
> "In einem Stromkreis mit der Spannung U dem Innenwiderstand
> Ri der Spannungsquelle sowie der Summe der äußeren
> Widerstände Ra genügt die elektr. Leistung P dem Gesetz
> P=U²*Ra/(Ra + Ri)²
> Mit Hilfe des totalen Differentials beweisen Sie, dass die
> rel. Leistungsänderung deltaP/P=-10%, wenn sowohl Ri als
> auch Ra eine rel. Änderung von deltaRi/Ri=+10% und
> deltaRa/Ra=+10% erfahren."
>
>
> Moin ich steh bei o.g. Aufgabe irgendwie auf dem Schlauch.
> Wär super, wenn mir da jemand helfen könnte.
>
> Bis jetzt hab ich die Funktion von P je einmal nach Ra und
> nach Ri abgeleitet und dann in die Gleichung: deltaP=
> Ableitung von P nach Ra*deltaRa + Ableitung von P nach
> Ri*delta Ri eingesetzt und wollte dann durch P teilen. Das
> klappt aber leider nicht so ganz.
Doch, doch, das klappt sehr gut. Da musst Du dich verrechnet haben.
$P = [mm] U^2 [/mm] * [mm] \bruch{R_a}{(R_a + R_i)^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial P}{\partial R_a} [/mm] = [mm] U^2*\bruch{R_i - R_a}{(R_a + R_i)^3}$
[/mm]
[mm] $\bruch{\partial P}{\partial R_i} [/mm] = [mm] U^2*\bruch{ - 2*R_a}{(R_a + R_i)^3}$
[/mm]
Das totale Differential ist nun
$dP = [mm] \bruch{U^2}{(R_a + R_i)^3}*\left((R_i - R_a)*dR_a - 2*R_a*dR_i \right)$
[/mm]
Jetzt hast Du ja Angaben über [mm] \Delta R_i [/mm] bzw. [mm] \Delta R_a, [/mm] und setzt
[mm] $\Delta R_i \approx dR_i [/mm] $ und
[mm] $\Delta R_i \approx dR_i [/mm] $ , also
$dP = [mm] \bruch{U^2}{(R_a + R_i)^3}*\left((R_i - R_a)*0,1*R_a - 2*R_a*0,1*R_i \right) [/mm] = [mm] \bruch{0,1*U^2}{(R_a + R_i)^3}*(-R_a^2 [/mm] - [mm] R_i*R_a) [/mm] $
Wenn Du jetzt [mm] \bruch{dP}{P} [/mm] bildest, kürzt sich alles raus und es bleibt übrig:
[mm] $\bruch{dP}{P} [/mm] = [mm] \bruch{0,1*U^2*(-R_a^2 - R_i*R_a)}{(R_a + R_i)^3}*\bruch{(R_a + R_i)^2}{U^2*R_a} [/mm] = -0,1$
LG, Martinius
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