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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 15.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
| Aufgabe | | Verwenden Sie Differentiale, um die Metallmenge in eimem geschlossenen Zylinder mit der Höhe 10cm und dem Durchmesser 4cm abzuschätzen, wenn die Boden- und Deckeldicke jeweils 0,1cm, und die Wanddicke ringsherum 0,05cm beträgt. |
Ich weiß zwar, wie man totale Differentiale berechnet, doch verstanden habe ich das nie so richtig. Jetzt habe ich diese Textaufgabe vor mir liegen und verstehe einfach nicht, wie ich diese Aufgabe OHNE die Formel [mm] \pi*r^{2}*h [/mm] lösen soll. Müsste ich EINE Funktion mit 2 (oder drei?) Variablen erstellen, diese Funktion dann partial ableiten, das totale DIfferential bilden und zu guter Letzt die ganzen Zahlenwerte einsetzen? Wenn ja, wie bilde ich diese Funktion?
Ich wäre über jeden Denkanstoß dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Sa 15.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Ohne die Formel $V = [mm] \pi r^2 [/mm] h$ geht es nicht.
Wie ändert sich das Volumen, wenn die Höhe um ein wenig, nämlich [mm] $\Delta [/mm] h$ verändert wird? Lösung:
[mm] $\br{dV}{dh} [/mm] = [mm] \pi r^2$ [/mm] damit [mm] $\Delta [/mm] V = [mm] \br{dV}{dh} \Delta [/mm] h = [mm] \pi r^2 \Delta [/mm] h$.
Nun bist Du dran:
Wie ändert sich das Volumen, wenn der Radius um ein wenig, nämlich [mm] $\Delta [/mm] r$ verändert wird?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 16.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
Wenn ich den Radius ein wenig ändere, erhalte ich:
[mm] \bruch{dV}{dr}=2*\pi*r*h [/mm] und somit [mm] \Delta V=\bruch{dV}{dr}*\Delta [/mm] r = [mm] 2*\pi*r*h*\Delta [/mm] r
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 So 16.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Genau so ist es. In diesem Fall macht sich auch die Ableitungsfunktion als Linearisierung der Ausgangsfunktion deutlicher bemerkbar. Nun kannst Du beides zusammenfassen und die Antwort berechnen:
[mm] $\Delta [/mm] V = [mm] \ldots [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
[mm] $\Delta [/mm] V$ ist das gesuchte Volumen und [mm] $\Delta [/mm] r$ und [mm] $\Delta [/mm] h$ die Wandstärken. Für r und h setzt Du die gegeben Werte ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 So 16.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
Alles klar. Dann erhalte ich, wenn ich beide Änderungen ausrechene und addiere, auch das in den Lösungen angegebene Ergebnis :)
[mm] \Delta V_{total} [/mm] = [mm] V_{h}*\Delta [/mm] h + [mm] V_{r} [/mm] * [mm] \Delta [/mm] r = [mm] \pi*r^{2}*\Delta [/mm] h + [mm] 2*\pi*r*\Delta [/mm] r = [mm] \pi*(2cm)^{2}*0,2cm [/mm] + [mm] 2*\pi*2cm*10cm*0,05cm [/mm] = 8,8 [mm] cm^{3}
[/mm]
Danke für den Denkanstoß :)
PS: Habe nun eine weitere Aufgabe, wo 3 parallele Widerstände mit einem Messfehler von je 0,5% angegeben werden. Die Widerstände sind R1=25 Ohm, R2=40 Ohm, R3=50 Ohm. Wenn ich jeweils drei partielle Ableitungen erstelle, diese wiederum mit dem Messfehler von 0,005 multiplieziere und am Ende alle drei Werte aufaddiere, erhalte ich einen Messfehler von 0,05409 Ohm. In den Lösungen steht allerdings 0,059 Ohm. Habe ich nun was falsches berechnet oder ist die Lösung nur "blöd" aufgerundet worden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 So 16.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Mein Taschenrechner zeigt 0,05882 an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 16.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
*** Fehler in der folgenden Rechnung!!! ***
Dann muss ich meinen Lösungsweg hier doch noch Mal offen legen:
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}=\bruch{1}{R_{1}}+\bruch{1}{R_{2}}+\bruch{1}{R_{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{1}}=ln(R_{1})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{2}}=ln(R_{2})
[/mm]
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{3}}=ln(R_{3})
[/mm]
Nun jeweils mit der Abweichung 0,005 multipliziert erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{1}}*\Delta Abweich.=ln(R_{1})*0,005
[/mm]
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{2}}*\Delta Abweich.=ln(R_{2})*0,005
[/mm]
[mm] \bruch{1}{R_{ges}}_{R_{3}}*\Delta Abweich.=ln(R_{3})*0,005
[/mm]
Diese Werte nun aufaddiert ergeben:
[mm] 0,005*(ln(R_{1})+ln(R_{2})+ln(R_{3})) [/mm] = 0,0541 Ohm ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 16.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> *** Fehler in der folgenden Rechnung!!! ***
>
> Dann muss ich meinen Lösungsweg hier doch noch Mal offen
> legen:
>
> [mm]\bruch{1}{R_{ges}}=\bruch{1}{R_{1}}+\bruch{1}{R_{2}}+\bruch{1}{R_{3}}[/mm]
>
Um Abzuleiten, musst du [mm] R_{ges}=\ldots [/mm] haben, nicht [mm] \frac{1}{R_{ges}}
[/mm]
Also:
[mm] $\frac{1}{R_{ges}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\frac{1}{R_{ges}}=\frac{R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}}{R_{1}R_{2}R_{3}}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow R_{ges}=\frac{R_{1}R_{2}R_{3}}{R_{2}R_{3}+R_{1}R_{3}+R_{1}R_{2}}$
[/mm]
Jetzt kannst du die Ableitungen [mm] \frac{\partial R_{ges}}{\partial R_{1}}, \frac{\partial R_{ges}}{\partial R_{2}} [/mm] und [mm] \frac{\partial R_{ges}}{\partial R_{3}} [/mm] berechnen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 16.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
Danke. Habe nun auch die Form [mm] R_{ges} [/mm] = ... ausgerechnet.
Abner ab jetzt wird es doch MEGA aufwändig, oder? Wenn ich nun drei Mal die Qouotientenregel anwende, muss ich ja akribisch aufpassen, was zu "1" wird, was stehen bleibt, was wegfällt, etc. Habs gerade Mal für [mm] R_{1} [/mm] probiert, habe eine DIN A4 Seite voll und mich bestimmt 5 Mal verrechnet.
Geht das auch einfacher, oder ist es halt nunmal so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 So 16.11.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke. Habe nun auch die Form [mm]R_{ges}[/mm] = ... ausgerechnet.
>
> Abner ab jetzt wird es doch MEGA aufwändig, oder? Wenn ich
> nun drei Mal die Qouotientenregel anwende, muss ich ja
> akribisch aufpassen, was zu "1" wird, was stehen bleibt,
> was wegfällt, etc. Habs gerade Mal für [mm]R_{1}[/mm] probiert,
> habe eine DIN A4 Seite voll und mich bestimmt 5 Mal
> verrechnet.
>
> Geht das auch einfacher, oder ist es halt nunmal so?
Soviel ist das doch nur wirklich nicht.
[mm] \frac{\partial R_{ges}}{\partial R_{1}}=\frac{(R_{2}R_{3})\cdot(R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3})-R_{2}\cdot(R_{1}R_{2}R_{3})}{(R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3})^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{(R_{2}R_{3})\cdot(R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}-R_{1}R_{3})}{(R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3})^{2}}
[/mm]
[mm] =\frac{(R_{2}R_{3})\cdot(R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3})}{(R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3})^{2}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 So 16.11.2014 | | Autor: | Phil92 |
Naja, es ist aber - im Vgl. zu anderen Aufgaben - nicht gerade wenig aufzuschreiben. Ich bin momentan Tutor an meiner Hochschule, hatte aber dieses Thema "Totaldifferentiale" damals gar nicht selbst gehabt. Deshalb muss ich mir das hier auch erst einmal aneignen, bevor ich den Studenten auch sagen kann, wie man diese Aufgabe zu rechnen hat ;)
Aber Danke für Deine Unterstützung bis hier hin :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 So 16.11.2014 | | Autor: | chrisno |
Der Aufwand kommt von der ungünstigen Schreibweise.
Ich habe [mm] $R_{Ges} [/mm] = [mm] \br{1}{\br{1}{R_1}+\br{1}{R_2}+\br{1}{R_3}} [/mm] = [mm] \left( \br{1}{R_1}+\br{1}{R_2}+\br{1}{R_3}\right)^{-1}$ [/mm] genommen.
Das kann man in einem Rutsch ableiten: [mm] $\br{dR_{Ges}}{dR_1}=\left( \br{1}{R_1}+\br{1}{R_2}+\br{1}{R_3}\right)^{-2} \cdot \br{1}{R_1^2}$
[/mm]
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