Totale Diffbarkeit < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 21.05.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm]
f(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} (x^{2}+y^{2})sin(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}), & (x,y)^{T}\not=(0,0)^{T} \\
0, & (x,y)^{T}=(0,0)^{T}\end{array}\right. .
\[/mm]
a) Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell differenzierbar ist und bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen.
b) Verifizieren Sie, dass die partiellen Ableitungen von f in [mm] \IR^{2} \{(0,0)^{T}} [/mm] stetig sind. Wie sieht es im Nullpunkt aus?
c) Beweisen Sie, dass f auf ganz [mm] \IR [/mm] (total) differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
also bei Aufgabenteil a) habe ich einfach die partiellen Ableitungen berechnet.
[mm]
f_{x}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} 2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}})-\bruch{x}{\wurzel{x^{2}+y^2}}cos(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^2}}), & (x,y)^{T}\not=(0,0)^{T} \\
0, & (x,y)^{T}=(0,0)^{T}\end{array}\right. .
\[/mm]
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] geht ja dann analog. Warum genau dass jetzt auf ganz [mm] \IR^{2} [/mm] partiell diffbar ist weiß ich leider nicht.
Zu b)
[mm] f_x [/mm] und [mm] f_y [/mm] sind ja außerhalb des Nullpunkts als Komposition stetiger Funktionen stetig.
Die Stetigkeit im Nullpunkt habe ich nicht zeigen können. Ich habe es mit Polarkoordinaten probiert, aber das führte nicht zum Ziel:
[mm] f_{x}(r,\phi)=cos(\phi)(2rsin(\bruch{1}{r})-cos(\bruch{1}{r})) [/mm] dabei macht mir der Kosinus am Ende Probleme beim Grenzübergang für r gegen 0.
Ohne b) komm ich bei c) auch nicht weiter.
Danke schonmal für eure Hilfe!
Gruß
Marmik
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Di 21.05.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ableitung ist falsch, im zweiten Summanden fehlt der Faktor
wie kommst du auf die Ableitung in (0,0) da brauchst du doch einenGW
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:38 Di 21.05.2013 | | Autor: | marmik |
Hallo leduart,
Die Ableitung müsste eigentlich richtig sein:
[mm] ((x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}))'=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})+(x^2+y^2)cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})\bruch{-1}{2}\bruch{2x}{(x^2+y^2)^{\bruch{3}{2}}}=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})
[/mm]
Das mit dem Grenzwertübergang habe ich mir gerade auch nochmal angeschaut und komme dann auf:
[mm] f_{x}(0,y)=\lim_{h \to \ 0}\bruch{1}{h}(f((0,0)+h\vec{e}_{1})-f(0,0))=\lim_{h \to \ 0}\bruch{1}{h}(h^{2}sin\bruch{1}{h})=0
[/mm]
Für [mm] f_{y}(x,0) [/mm] analog.
Und dann müsste die partielle Ableitung nach x doch genau das sein, was ich in meiner ersten Frage gepostet habe oder nicht?
Wenn das soweit stimmt habe ich trotzdem noch Probleme die Stetigkeit von [mm] f_{x}(x,y) [/mm] in (0,0) bzw die Unstetigkeit zu zeigen. Meine Vermutung ist, dass alle partiellen Ableitungen in (0,0) stetig sein müssten, da ja Aufgabenteil c) es quasi als Vorraussetzung braucht.
MfG
Marmik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 23.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:16 Sa 25.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Hallo leduart,
>
> Die Ableitung müsste eigentlich richtig sein:
>
> [mm]((x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}))'=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})+(x^2+y^2)cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})\bruch{-1}{2}\bruch{2x}{(x^2+y^2)^{\bruch{3}{2}}}=2xsin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})-\bruch{x}{\wurzel{x^2+y^2}}cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})[/mm]
so hatte ich sie mir auch überlegt
> Das mit dem Grenzwertübergang habe ich mir gerade auch
> nochmal angeschaut und komme dann auf:
>
> [mm]f_{x}(0,y)=\lim_{h \to \ 0}\bruch{1}{h}(f((0,0)+h\vec{e}_{1})-f(0,0))=\lim_{h \to \ 0}\bruch{1}{h}(h^{2}sin\bruch{1}{h})=0[/mm]
>
> Für [mm]f_{y}(x,0)[/mm] analog.
> Und dann müsste die partielle Ableitung nach x doch genau
> das sein, was ich in meiner ersten Frage gepostet habe oder
> nicht?
>
> Wenn das soweit stimmt habe ich trotzdem noch Probleme die
> Stetigkeit von [mm]f_{x}(x,y)[/mm] in (0,0) bzw die Unstetigkeit zu
> zeigen. Meine Vermutung ist, dass alle partiellen
> Ableitungen in (0,0) stetig sein müssten, da ja
> Aufgabenteil c) es quasi als Vorraussetzung braucht.
Bei meiner ähnlich gestellten Aufgabe mit gleicher Funktion besagt die Aufgabe schon, dass die partiellen Ableitungen [mm] f_{x} [/mm] nd [mm] f_{y} [/mm] in (0,0) unstetig sind. D.h. man muss zeigen, dass Grenz- und Funktionswert nicht übereinstimmen. Aber wie?
zu a) Da frage ich mich auch, warum f auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] partielle Ableitungen besitzt, also wie man das dann zeigt.
> MfG
>
> Marmik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 So 26.05.2013 | | Autor: | lol13 |
zu a) um zu zeigen, dass alle partiellenAbleitungen existieren, muss ich dann besonders den Nullpunkt nachprüfen? Ich blicks grad nicht :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 27.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> zu a) um zu zeigen, dass alle partiellenAbleitungen
> existieren, muss ich dann besonders den Nullpunkt
> nachprüfen? Ich blicks grad nicht :/
ja genau. Alle anderen Punkte sind ja mehr oder weniger klar, nur beim Nullpunkt wirds interessant. Einfacheres Beispiel:
[mm] $f(x)=\begin{cases}x^{2} & x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\\1 & x=0\end{cases} [/mm] $
Das wäre als würdest Du bei dieser Funktion sagen: Klar, f ist diffbar mit $f'(x)=2x$ - Das stimmt aber nur für [mm] $x\neq [/mm] 0$
Gruß,
notinX
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 27.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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