Totale Diff. von R^2 nach R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi
habe ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei $ f: [mm] \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto (x+y^2, x^2 [/mm] - y) $
Zeigen Sie dass $ f $ auf $ [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] $ diffbar ist.
Dabei soll man aber nur die Defintion der totalen Diffbarkeit verwenden:
Sei $ U [mm] \subset \mathbb{R}^n [/mm] $ offen.
$ [mm] \exists [/mm] L [mm] \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m), f^\*:U \rightarrow \mathbb{R}^m [/mm] $ mit $ [mm] \lim\limits_{x \rightarrow a}{f^\*(x) = 0} [/mm] $ und $ [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U: f(x) = f(a) + L(x-a) + [mm] |x-a|f^\*(x) [/mm] $
So heißt f im Punkt a total diffbar.
Ich habe mal so angefangen:
Sei $ x = [mm] (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2 [/mm] $ und $ a = [mm] (a_1, a_2) \in \mathbb{R}^2 [/mm] $
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] \begin{pmatrix} x_1 + x_2^2 \\ x_1^2 - x_ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 + x_2^2 + a_1 + a_2^2 - a_1 - a_2^2\\ x_1^2 - x_ 2 + a_1^2 - a^2 - a_1^2 + a_2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \overbrace{\begin{pmatrix} a_1 + a_2^2 \\ a_1^2 - a_ 2 \end{pmatrix}}^{=: f(a)} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} x_1 + x_2^2 - a_1 - a_2^2 \\ x_1^2 - x_ 2 - a_1^2 + a_2 \end{pmatrix}
[/mm]
Aber wie bekomm ich jetzt meinen Rest, also v.a. das $ L(x-a) $ ?
lg
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Hiho,
geh den Weg mal anders ran: Angenommen f wäre total differenzierbar, wie würde denn dann L aussehen?
Gruß,
Gono
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Ich denk so:
$L(x-a) = [mm] \begin{pmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_ 2 \end{pmatrix} [/mm] $
aber das geht ja nicht so ganz, bzw. dann hätte ich als Restterm (die [mm] $2x_2$ [/mm] hab ich dazuaddiert damit ich obiges bekomme):
[mm] $\begin{pmatrix} x_2^2 - a_2^2 \\ x_1^2 - a_1^2 + 2x_2 \end{pmatrix}$
[/mm]
und das bringt mich jetzt auch nicht weiter :(
lg
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Hiho,
> Ich denk so:
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> [mm]L(x-a) = \begin{pmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_ 2 \end{pmatrix}[/mm]
Nein..... [mm] \begin{pmatrix} x_1 - a_1 \\ x_2 - a_ 2 \end{pmatrix} [/mm] ist doch nichts anderes als $x-a$ du behauptest also $L(x-a) = x-a$?
Wäre f total differenzierbar, so wäre die Darstellung von L als Matrix gegeben durch die Jacobi Matrix. Wie sieht die aus?
Dann noch einen weiteren Tipp: hast du eine Darstellung über eine Matrix A zu einer linearen Abbildung L gegeben, so gilt $L(x) = A*x$
Gruß,
Gono
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Ok danke schonmal. Die Jacobi Matrix müsste ja dann so aussehen:
$ A := [mm] \pmat{ 1 & 2x_2 \\ 2x_1 & 1 } [/mm] $ und $ L(x) = Ax = [mm] \pmat{ x_1 + 2x_2^2 \\ 2x_1^2 + x_2 } [/mm] $
Ok so?
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Hiho,
> [mm]A := \pmat{ 1 & 2x_2 \\ 2x_1 & 1 }[/mm]
da ist dir an einer Stelle ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
Schau nochmal drauf.
> und [mm]L(x) = Ax = \pmat{ x_1 + 2x_2^2 \\ 2x_1^2 + x_2 }[/mm]
Ja.
Nun brauchst du ja [mm] $L_a$, [/mm] d.h. die Jacobimatrix an der Stelle a und [mm] $L_a(x-a)$
[/mm]
Das sieht dann wie aus?
Gruß,
Gono
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Danke. also:
$ A := [mm] \pmat{ 1 & 2x_2 \\ 2x_1 & -1 } [/mm] $ und
$ L(x) = Ax = [mm] \pmat{ x_1 + 2x_2^2 \\ 2x_1^2- x_2 } [/mm] $
und dann erhalte ich für
$ L(x-a) = [mm] \pmat{x_1 - a_1 + 2(x_2-a_2)^2 \\ 2(x_1 - a_1)^2 - x_2 + a_2 } [/mm] $
Aber was genau meinst du mit [mm] $L_a(x-a)$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] L_a [/mm] = Jacobimatrix an der Stelle a.
[mm] L_a(x-a)= [/mm] Matrix-Vektor-Produkt von [mm] L_a [/mm] und x-a.
FRED
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$ [mm] L_a [/mm] = [mm] \pmat{ a_1 + 2a_2^2 \\ 2a_1^2- a_2 } [/mm] $ und
$ [mm] L_a(x-a) [/mm] = [mm] \pmat{ a_1 + 2a_2^2 \\ 2a_1^2- a_2 }* \pmat{ x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 }^T [/mm] $
So?
Tut mir leid dass ich so oft nachfragen muss aber wir haben das hier alles erst vor kurzem eingeführt und leider kein Beispiel durchgerechnet..
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 26.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]L_a = \pmat{ a_1 + 2a_2^2 \\ 2a_1^2- a_2 }[/mm]
Nein. Es ist [mm] L_a=$\pmat{ 1 & 2a_2 \\ 2a_1 & -1 } [/mm] $ für [mm] a=(a_1,a_2)^T
[/mm]
FRED
> und
>
> [mm]L_a(x-a) = \pmat{ a_1 + 2a_2^2 \\ 2a_1^2- a_2 }* \pmat{ x_1 - a_1 \\ x_2 - a_2 }^T[/mm]
>
> So?
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> Tut mir leid dass ich so oft nachfragen muss aber wir haben
> das hier alles erst vor kurzem eingeführt und leider kein
> Beispiel durchgerechnet..
>
> lg
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Ah ok, dann schaut das ganze also so aus:
[mm] $L_a(x-a) [/mm] = [mm] \pmat{ x_1 - a_1 + 2a_2x_2 - 2a_2^2 \\ 2a_1x_1 2a_1^2 - x_2 + a_2 } [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) - f(a) - [mm] L_a(x-a) [/mm] = ... = [mm] \pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 }$
[/mm]
und für $ x [mm] \rightarrow [/mm] a $ wird das ganze 0 und f ist somit total diffbar.
Oder?
danke und lg
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Hiho,
> Ah ok, dann schaut das ganze also so aus:
> [mm]L_a(x-a) = \pmat{ x_1 - a_1 + 2a_2x_2 - 2a_2^2 \\ 2a_1x_1 2a_1^2 - x_2 + a_2 }[/mm]
Na wenn du da in der zweiten Zeile noch ein Minus geeignet setzt, dann passt es.
>
> [mm]\Rightarrow f(x) - f(a) - L_a(x-a) = ... = \pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 }[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für [mm]x \rightarrow a[/mm] wird das ganze 0 und f ist somit total diffbar.
> Oder?
Na na, nicht so schnell.
Es gilt nun: [mm] \pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 } [/mm] soll [mm] $|x-a|f^\*(x)$ [/mm] sein.
Und: [mm] $f^\*(x)$ [/mm] soll gegen 0 gehen für [mm] $x\to [/mm] a$
D.h. es müsste gelten [mm] $f^\*(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{|x-a|}\pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 }$
[/mm]
Und da ist jetzt gar nicht mehr so klar, warum [mm] $f^\*(x) \to [/mm] 0$ für [mm] $x\to [/mm] a$
Zeige das noch!
Gruß,
Gono
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Und wenn ich die äquivalente Defintion der totalen Diff. verwende (was auch erlaubt ist)
$ [mm] \lim\limits_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) - f(a) - L(x-a)}{|x-a|}} [/mm] = 0$
Dann wäre ich schon fertig oder? :)
lg
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Hiho,
> Und wenn ich die äquivalente Defintion der totalen Diff.
> verwende (was auch erlaubt ist)
>
> [mm]\lim\limits_{x \rightarrow a}{\frac{f(x) - f(a) - L(x-a)}{|x-a|}} = 0[/mm]
>
> Dann wäre ich schon fertig oder? :)
wenn du das mal versucht hättest, wüsstest du, dass dich das auf genau das gleiche Problem bringt.
Was ist denn $f(x) - f(a) - L(x-a)$?
Was ist dann zu zeigen?
Und wenn du dir das dann genau anschaust, wirst du auch feststellen, dass das gar keine andere Definition ist.....
Gruß,
Gono
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Also ich muss f* umformen bzw abschätzen, kann ich z.b. das so machen?
$ [mm] \bruch{| \pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 } | }{|x-a|} [/mm] $ dann würde sich was rauskürzen und f* würde gegen 0 gehen für x gegen a
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Hiho,
> Also ich muss f* umformen bzw abschätzen, kann ich z.b. das so machen?
> [mm]\bruch{| \pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 } | }{|x-a|}[/mm]
> dann würde sich was rauskürzen und f* würde gegen 0 gehen für x gegen a
was kürzt sich denn da?
Aber ja, natürlich gilt: $f(x) [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] |f(x)| [mm] \to [/mm] 0$
Das solltest du aber wissen.
Gruß,
Gono
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hab mich mal wieder verrechnet...
könntest du mir bitte noch einmal helfen wie ich das vernünftig abschätzen bzw. umformen kann? :)
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Hiho,
> hab mich mal wieder verrechnet...könntest du mir bitte noch einmal helfen wie ich das vernünftig abschätzen bzw. umformen kann? :)
na schreibe [mm] $\left|\pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 }\right|$ [/mm] doch mal hin und bedenke dann, dass $0 [mm] \le 2(x_1-a_1)^2(x_2 [/mm] - [mm] a_2)^2$ [/mm] um dir eine binomische Formel zu bauen.
Gruß,
Gono
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Kanns grad nicht abtippen aber habs eben ausgerechnet und
$ [mm] \frac{\left|\pmat{ (x_2 - a_2)^2 \\ (x_1 - a_1)^2 }\right|}{|x-a|} [/mm] $ nach oben abgeschätzt gegen $ | x - a | $, was ja gegen 0 geht für x gegen a und demzufolge auf f* gegen 0 geht.
Danke!!
lg
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