Totale Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Es sei das Anfangswertproblem
[mm] \dot y_1(t) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * [mm] y_1(t) [/mm] - [mm] \beta *y_1(t)*y_2(t), y_1(0) [/mm] = 500,
[mm] \dot y_2(t) [/mm] = [mm] -\gamma [/mm] * [mm] y_2(t) [/mm] + [mm] \delta *y_1(t)*y_2(t), y_2(0) [/mm] = 20,
mit [mm] t\in[0,200] [/mm] gegeben.
Es sei [mm] p:=\vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \delta} [/mm] = [mm] \vektor{0.08 \\ 0.002 \\ 0.2 \\ 0.0004} [/mm] der Parametervektor.
Formulieren Sie das Variationsdifferentialgleichungssystem zur Berechnung von G := [mm] \frac{\delta y}{\delta p}. [/mm] |
G ist Definiert durch:
[mm] \dot [/mm] G = [mm] \frac{\delta f}{\delta y} [/mm] *G + [mm] \frac{\delta f}{\delta p}
[/mm]
mit [mm] \begin{matrix}
f_1(t) & = & \alpha * y_1(t) - \beta *y_1(t)*y_2(t)\\
f_2(t) & = & -\gamma * y_2(t) + \delta *y_1(t)*y_2(t)
\end{matrix}
[/mm]
Wenn ich nun G berechne erhalte ich in diesem Fall:
[mm] \dot [/mm] G = [mm] \frac{\delta f}{\delta y_1}*\frac{\delta f}{\delta y_2} [/mm] *G + [mm] \frac{\delta f}{\delta \alpha}*\frac{\delta f}{\delta \beta}*\frac{\delta f}{\delta \gamma}*\frac{\delta f}{\delta \delta}
[/mm]
also:
[mm] \begin{matrix}
\dot G_1 & = & (\alpha - \beta*y_2(t))*(-\beta*y_1(t)) & * & G_1 & + & (y_1(t)*(-y_1(t)*y_2(t)) * 0 * 0) \\
\dot G_2 & = & (\delta y_2(t) * (\delta*y_1(t) -\gamma)) & * & G_2 & + & (0 * 0 * (-y_2(t)) * (y_1(t)*y_2(t))
\end{matrix}
[/mm]
also im Endeffekt:
[mm] \begin{matrix}
\dot G_1 & = & (\alpha - \beta*y_2(t))*(-\beta*y_1(t)) & * & G_1\\
\dot G_2 & = & (\delta y_2(t) * (\delta*y_1(t) -\gamma)) & * & G_2
\end{matrix}
[/mm]
Stimmt das so?
Da [mm] G_i [/mm] ja die Anhängigkeit der einzelnen Gleichungsteile auf die Parameter angibt ist es ja logisch, dass [mm] y_1 [/mm] nicht von [mm] \gamma [/mm] und [mm] \delta [/mm] abhängt und analog für [mm] y_2 [/mm] und [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta. [/mm] Oder?
Gruß und Danke
Zerwas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 04.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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