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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mi 30.05.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | $ [mm] X=\IR, \mathcal{O} [/mm] $ bestehe aus $ [mm] \IR, \emptyset [/mm] $ und allen Intervallen $ [mm] (-\infty,a), [/mm] \ [mm] a\in\IR.$ [/mm] Zeigen Sie, dass $ [mm] (X,\mathcal{O}) [/mm] $ ein topologischer Raum ist. |
Die Frage wurde hier schon gestellt. Leider ist der Thread recht lang und bislang unbeantwortet, daher teile ich ihn jetzt in 3 einzelne Fragen auf.
Wäre nett wenn jemand drüber schauen und sagen könnte, ob das so richtig ist.
(i) $ [mm] \emptyset\in\mathcal{O} [/mm] $ und $ [mm] \IR\in\mathcal{O} [/mm] $ ist klar.
(ii) Für Intervalle $ [mm] U_i:=(-\infty,a_i) [/mm] $ sei o.B.d.A. jeweils $ [mm] a_i
$ [mm] \bigcup_{i=1}^n{U_i}=U_1\cup [/mm] ... [mm] \cup U_n=U_n=(-\infty,a_n)\in\mathcal{O} [/mm] $ für endliche Vereinigungen und
$ [mm] \bigcup_{i=1}^\infty{U_i}=U_1\cup U_2\cup ...=(-\infty,\infty)\in \mathcal{O} [/mm] $ für unendliche bzw. für $ [mm] n\to\infty. [/mm] $
(iii) Wähle oBdA $ [mm] U_i [/mm] $ wie oben, dann gilt für endliche Durchschnitte:
$ [mm] \bigcap_{i=1}^{n}U_i=U_1\cap [/mm] $ ... $ [mm] \cap U_n=U_1 \in \mathcal{O} [/mm] $
So ok?
Vielen Dank und lieben Gruß,
chesn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo chesn,
ich muss gleich weg, daher nur kurz:
> [mm]X=\IR, \mathcal{O}[/mm] bestehe aus [mm]\IR, \emptyset[/mm] und allen
> Intervallen [mm](-\infty,a), \ a\in\IR.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm](X,\mathcal{O})[/mm] ein topologischer Raum ist.
> Die Frage wurde hier
> schon gestellt. Leider ist der Thread recht lang und
> bislang unbeantwortet, daher teile ich ihn jetzt in 3
> einzelne Fragen auf.
>
> Wäre nett wenn jemand drüber schauen und sagen könnte,
> ob das so richtig ist.
>
> (i) [mm]\emptyset\in\mathcal{O}[/mm] und [mm]\IR\in\mathcal{O}[/mm] ist
> klar.
>
> (ii) Für Intervalle [mm]U_i:=(-\infty,a_i)[/mm] sei o.B.d.A.
> jeweils [mm]a_i
> gilt:
>
> [mm]\bigcup_{i=1}^n{U_i}=U_1\cup ... \cup U_n=U_n=(-\infty,a_n)\in\mathcal{O}[/mm]
> für endliche Vereinigungen und
>
> [mm]\bigcup_{i=1}^\infty{U_i}=U_1\cup U_2\cup ...=(-\infty,\infty)\in \mathcal{O}[/mm]
> für unendliche bzw. für [mm]n\to\infty.[/mm]
Bei unendlich vielen kannst Du das so nicht schreiben. Arbeite mit den Supremum über alle [mm] $a_i\,,$ [/mm] also [mm] $S:=\sup\{a_i: i \in \IN\}\,.$
[/mm]
Was wäre denn bei Dir etwa, wenn ich die (abzählbar unendlich vielen) Intervalle [mm] $(-\infty,\;1-1/n)$ [/mm] vereinigen würde?
(Erinnere Dich auch mal: Es gibt nach oben unbeschränkte streng monotone wachsende Folgen - aber es gibt auch nach oben beschränkte streng monoton wachsende Folgen: Letztere haben welche Eigenschaft?)
Und bei endlich vielen: Das ist im Wesentlichen in Ordnung - Du sortierst halt erst... Das braucht man formal nur nicht: Endliche Mengen haben ein Maximum. (Und bei den Schnitten über endliche Mengen benutzt Du dann ein Infimum, dass dann aber glücklicherweise ein Minimum ist.)
> (iii) Wähle oBdA [mm]U_i[/mm] wie oben, dann gilt für endliche
> Durchschnitte:
>
> [mm]\bigcap_{i=1}^{n}U_i=U_1\cap[/mm] ... [mm]\cap U_n=U_1 \in \mathcal{O}[/mm]
>
> So ok?
S.o.. Wenn Du hier schon [mm] $a_1 [/mm] < ... < [mm] a_n$ [/mm] hast (ich würde das auch nur mit [mm] $\le$ [/mm] schreiben, weil man ja sonst auch irgendwo dazuschreiben sollte, dass von den Intervallen [mm] $U_i$ [/mm] jedes o.B.d.A. nur einmal vorkommt), dann ja. Aber man kann hier sowas wie [mm] $m:=\min\{a_i: i \in E\}$ [/mm] schreiben, wobei [mm] $E\,$ [/mm] irgendeine endliche Menge ist, und das dann benutzen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Marcel:
Du mußt zeigen, dass eine beliebige (!) Vereinigung von Menge aus [mm] \mathcal{O} [/mm] wieder zu [mm] \mathcal{O} [/mm] gehört. Nicht nur für abzählbare Vereinigungen !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> Ergänzend zu Marcel:
>
> Du mußt zeigen, dass eine beliebige (!) Vereinigung von
> Menge aus [mm]\mathcal{O}[/mm] wieder zu [mm]\mathcal{O}[/mm] gehört. Nicht
> nur für abzählbare Vereinigungen !
Danke - darauf hatte ich in der Tat gar nicht geachtet!
Gruß,
Marcel
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