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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 10.03.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Es seien (X,d) ein metrischer Raum, K [mm] \subset [/mm] X kompakt und [mm] A\subset [/mm] X eine beliebige Teilmenge. Zeige:
Sei a [mm] \in [/mm] von X und r positiv. Ist Kr(a)={x [mm] \in [/mm] von X: d(x,a) [mm] \le [/mm] r} kompakt? |
Ich versuchte diese Aufgabe mit einem Gegenbeispiel zu lösen, d.h. mit der diskreten Metrik, kam aber auf keinen grünen Zweig. Deshalb ist meine Frage, ob man es anders zeigen kann oder was ich bei meinem Ansatz beachten muss? Danke jetzt schon all jenen, die mir helfen können!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Di 10.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Es seien (X,d) ein metrischer Raum, K [mm]\subset[/mm] X kompakt und
> [mm]A\subset[/mm] X eine beliebige Teilmenge. Zeige:
> Sei a [mm]\in[/mm] von X und r positiv. Ist Kr(a)=[mm]\{x\in[/mm]X:
> d(x,a) [mm]\le r\}[/mm] kompakt?
Man sollte sich erst fragen, warum in den Angaben ein kompaktes K und ein A gegeben sind, wenn doch die Aufgabe nix damit zu tun hat.
Wahrscheinlich nur zur Verwirrung der Studenten ^^
> Ich versuchte diese Aufgabe mit einem Gegenbeispiel zu
> lösen, d.h. mit der diskreten Metrik, kam aber auf keinen
> grünen Zweig. Deshalb ist meine Frage, ob man es anders
> zeigen kann oder was ich bei meinem Ansatz beachten muss?
Du suchst ein Gegenbeispiel, ok. Würdest du also auf die Frage aus der Aufgabenstellung mit "Nie." oder "Nicht immer." antworten?
Nun zu deiner eigentlichen Frage: Betrachte doch (in der diskreten Metrik) den Kreis mit Radius 1 um irgend einen Punkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Di 10.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm] \not= [/mm] x eine 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist ist die Metrik auch 0 und erfült die bedinung auch .. also heisst aber, das dies radien grösser als ein erfüllen und nicht alle radien ... doch was hat das mit der frage nach der kompaktheit zu tun? ... dieses gaanze thema ist onehin so verwirrend *G* hehe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 10.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm] \not= [/mm] x eine 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist, ist die Metrik auch 0 und erfüllt die Bedingung auch .. also heisst das, dass die Radien grösser als eins diese Bedinung für K erfüllen also somit nicht alle positiven radien... doch was hat das alles mit der frage nach der kompaktheit zu tun? ... dieses ganze thema ist wirklich verwirrend *G* hehe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Di 10.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
Anmerkungen:
1) Man kann eigene, abgeschickte Nachrichten wieder editieren.
2) Stelle deine Nachricht in so einem Fall wieder als "Frage" und nicht als "Mitteilung". Ist besser für die Anderen, denn sie wissen dann, dass du noch eine Antwort willst.
> Ja in der diskreten Metrik habe ich ja für a [mm]\not=[/mm] x eine
> 1, das erfüllt die Aussage, und wenn a gerade x ist, ist
> die Metrik auch 0 und erfüllt die Bedingung auch .. also
Von welcher Bedingung sprichst du hier?
> heisst das, dass die Radien grösser als eins diese Bedinung
> für K erfüllen also somit nicht alle positiven radien...
Den Satz versteh ich nicht. Welche Bedingung denn wieder?
> doch was hat das alles mit der frage nach der kompaktheit
> zu tun? ... dieses ganze thema ist wirklich verwirrend *G*
> hehe
Du hast einen metrischen Raum (X,d) mit der diskreten Metrik.
Sei [mm] x_0 [/mm] einfach mal irgend ein Punkt aus X.
Wie sieht dann die Menge [mm]\{x\in X| d(x,x_o)\le 1\}[/mm] aus?
Ist sie kompakt oder nicht? Wieso?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Di 10.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Hehe gibt Sinn, dass man als Noob explizit betitelt wird, wenn man sich neu registriert ^^ ... Ok alles klar! Also mein Problem allgemein ist es, mich mit der ganzen Thematik Topologie anzufreunden. Jetzt beim vorliegenden Bsp habe mir überlegt, dass diese Menge offen ist, da sie ein Ball ist, und somit nicht kompakt ist. Ist diese Überlegung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 10.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hehe gibt Sinn, dass man als Noob explizit betitelt wird,
> wenn man sich neu registriert ^^ ... Ok alles klar! Also
> mein Problem allgemein ist es, mich mit der ganzen Thematik
> Topologie anzufreunden. Jetzt beim vorliegenden Bsp habe
> mir überlegt, dass diese Menge offen ist, da sie ein Ball
> ist, und somit nicht kompakt ist. Ist diese Überlegung
> falsch?
Die Menge (ich hoffe du meinst damit [mm] \{x\in X| d(x,x_o)\le 1\}, [/mm] nennen wir sie doch einfach M) ist in der Tat offen, aber deine Begründung ist falsch.
Nehmen wir doch mal ein konkretes Beispiel, nämlich [mm] \IR [/mm] (also unsere Menge X sind jetzt einfach mal die reellen Zahlen) und als [mm] x_0 [/mm] wählen wir die Null.
Welche reellen Zahlen liegen dann alle in der Menge M drin?
Ist M offen? Abgeschlossen? Kompakt? Diese drei Fragen kannst du nur beantworten, wenn du genau weisst, wie M aussieht, und genau weisst wie die Topologie aussieht, welche von der diskreten Metrik erzeugt wird. Diese beiden Sachen musst du dir erstmal klar machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Di 10.03.2009 | | Autor: | Sacha |
Wenn [mm] x_{0} [/mm] = 0, dann ist die Menge M = {0,1} (mit diskreter Metrik), denn es gilt ja d(a,b)=0 wenn a=b und d(a,b)=1 wenn a [mm] \not= [/mm] b, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Di 10.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Wenn [mm]x_{0}[/mm] = 0, dann ist die Menge M = {0,1} (mit diskreter
Falsch.
> Metrik), denn es gilt ja d(a,b)=0 wenn a=b und d(a,b)=1
> wenn a [mm]\not=[/mm] b, oder?
Richtig. Wir haben also [mm]d(4,0) = 1 \mbox{ und } d(0.000002,0) = 1 \mbox{ und } d(999999999,0) = 1[/mm]. Somit hat jede reelle Zahl (ausser der Null selber) von der Null den Abstand 1.
Also ist [mm]M=\IR[/mm], denn M ist ja die Menge aller reellen Zahlen, die von der Null den Abstand maximal 1 haben.
Zu der Topologie, die von dieser Metrik erzeugt wird: ![[]](/images/popup.gif) Wiki-Link.
Hierbei eigentlich nur wichtig: Die erste Hälfte von "Definition", sowie Punkte 4 und 6 unter "Eigenschaften".
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mi 11.03.2009 | | Autor: | fred97 |
im Falle eines normierten Raumes X, also d(x,y) = $||x-y||$, gilt folgendes:
Eine Kugel { x [mm] \in [/mm] X : ||x-a|| [mm] \le [/mm] r } ist genau dann kompakt, wenn dimX < [mm] \infty
[/mm]
FRED
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