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Hallo,
kann mir jemand helfen?
Es geht um das Thema offene Mengen, genauer um folgenden Satz:
Für die offenen Mengen eines metrischen Raumes X gilt:
a) [mm] \emptyset [/mm] und X sind offen.
b) Sind U und V offen, so ist auch der Durchschnitt [mm] U\cap [/mm] V offen.
c) Sei [mm] U_{i}, i\in [/mm] I, eine Familie offener Teilmengen von X. Dann ist auch die Vereinigung der Teilmengen offen.
Über b) und c) habe ich noch nicht länger nachgedacht. Es geht ersteinmal nur um a).
Gut, dass die leere Menge offen ist, logisch. Aber kann ich X nicht so konstriueren, dass X nicht offen ist? Was spricht denn dagegen, wenn ich z.B. wähle X= [a,b] mit [mm] a,b\in \IR [/mm] und a<b??? Da weißt ich ja, dass X weder Umgebung von a noch von b ist, also ist X nicht offen. Oder ist in meinem Fall X kein metrischer Raum??? Ich verstehe das nicht.
Dann noch ein formales Problemchen.
Ich habe folgendes im Buch gefunden:
[mm] ||f+g||_{X}:=sup\{ |f(x)|:x\in X\} [/mm] < [mm] \infty.
[/mm]
Aber wieso jetzt plötzlich "|:"??? Ist das nicht doppelt? Ich kenne nur "|" oder ":" was "mit der Eigenschaft" bei uns heißt. Kann mir jemand verraten was dahinter steckt?
Da fällt mir noch etwas ein:
Kann mir jemand den Unterschied zwischen Maximum und Supremum erklären?
viele Grüße, dancingestrella
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Sa 19.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Hallo dancingestrella,
also dein gewählter X=[a,b] ist ein metrischer Raum vermöge
d(x,y)=|x-y| [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] X.
Nun ist jede offene Menge des Raumes X eine Teilmenge der offenen Menge (a,b)
Ich finde die getroffene Formulierung auch etwas merkwürdig und nur so erscheint mir die Sache plausibel.
> [mm] \sup\{|f(x)|:x\in X\}
[/mm]
wiso |: ?? der Strich gehört doch zum Betrag.
Das Supremum S ist nur dann gleich dem Maximum, wenn S zur Menge X gehört.
Beispiel: [mm] a_{n} [/mm] sei die Zahlenfolge [mm] 1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Minimum=Infimum=0,5
Supremum=1, gehört nicht zu [mm] a_{n}, [/mm] ist also nicht das Maximum von [mm] a_{n}
[/mm]
Ich lasse die Frage mal noch "halboffen" wie [mm] a_{n} [/mm] und hoffe dass ich etwas helfen konnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Sa 19.03.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Dancingestrella!
> Hallo,
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> kann mir jemand helfen?
> Es geht um das Thema offene Mengen, genauer um folgenden
> Satz:
>
> Für die offenen Mengen eines metrischen Raumes X gilt:
> a) [mm]\emptyset[/mm] und X sind offen.
> b) Sind U und V offen, so ist auch der Durchschnitt [mm]U\cap[/mm]
> V offen.
> c) Sei [mm]U_{i}, i\in[/mm] I, eine Familie offener Teilmengen von
> X. Dann ist auch die Vereinigung der Teilmengen offen.
>
> Über b) und c) habe ich noch nicht länger nachgedacht. Es
> geht ersteinmal nur um a).
> Gut, dass die leere Menge offen ist, logisch. Aber kann
> ich X nicht so konstriueren, dass X nicht offen ist? Was
> spricht denn dagegen, wenn ich z.B. wähle X= [a,b] mit
> [mm]a,b\in \IR[/mm] und a<b??? Da weißt ich ja, dass X weder
> Umgebung von a noch von b ist, also ist X nicht offen.
Doch, auch dann ist $X=[a,b]$ eine offene Menge in dem metrischen Raum [m](X,d)[/m], wobei die Metrik $d$ wie bei TomJ definiert sei. Du mußt dir einfach klarmachen, welchen Bezugspunkt (damit meine ich, welche Menge!) du bei diesem metrischen Raum hast. In dem metrischen Raum [mm] $(Y,d_Y):=(\IR,d_{\IR})$ ($d_{\IR}(x,y):=|x-y|$ $\forall [/mm] x,y [mm] \in Y=\IR$; [/mm] d.h. [m]d=d_{\IR}|_X[/m], also die Metrik $d$ des Raumes $(X,d)$ ist die Einschränkung der Metrik [mm] $d_{\IR}$ [/mm] auf der Menge $X=[a,b]$) ist deine Menge $X=[a,b]$ natürlich nicht offen, da man in [mm] $\IR$ [/mm] ja kein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ finden kann, so dass die Kugel [m]B_Y(a,\varepsilon)=B_{\IR}(a,\varepsilon):=\{r \in \IR:\;d_{\IR}(a,r)<\varepsilon\}[/m] in $X=[a,b]$ liegen würde. D.h., für jedes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gilt [m]B_Y(a,\varepsilon) \not\subseteq Y=\IR[/m].
Betrachtest du allerdings den metrischen Raum [mm](X,d)=([a,b],d)[/mm], so sind ja, wenn ich dich recht verstehe, für dich nur die Randpunkte (also $a$ bzw. $b$) kritisch bzgl. der "Kugelfindung" (der Rest ist ja klar, oder? Ansonsten frag nach!). Betrachten wir dann mal den Punkt $a$, dann gilt:
Setze [mm]\varepsilon:=\frac{b-a}{2}\;\;\;(>0,\;\mbox{wegen } a
[m]B=B_{X}(a,\varepsilon)\subseteq X=[a,b][/m].
Natürlich ist diese "Kugel" [m]B=\left[a,\frac{a+b}{2}\right)[/m] im metrischen Raum [m](Y,d_Y)=(\IR,d_{\IR})[/m] ein linksabgeschlossenes rechtsoffenes Intervall (und insbesondere in [mm](Y,d_Y)=(\IR,d_{\IR})[/mm] dann nicht offen, also in [mm] $(\IR,d_{\IR})$ [/mm] eigentlich auch keine offene Kugel!), aber das tut ja nichts zur Sache, wenn wir uns im metrischen Raum $(X,d)=([a,b],d)$ bewegen. Im metrischen Raum [m](X,d)=([a,b],d)[/m] ist nichtsdestotrotz die Menge [m]B=\left[a,\frac{a+b}{2}\right)[/m] eine offene Menge, eine "offene Kugel", die ganz in $X=[a,b]$ liegt! Das liegt einfach an der Definition der [mm] $\varepsilon$-Kugel [/mm] eines metrischen Raumes [mm] $(M,d_M)$ [/mm] um einen Punkt [mm]m_0 \in M[/mm], denn dort werden nur die Elemente $m$ der Menge M betrachtet, für die [mm] $d_M(m,m_0)<\varepsilon$ [/mm] gilt.
Oben: [mm] $B=\left[a,\frac{a+b}{2}\right)$ [/mm] ist im metrischen Raum $(X,d)=([a,b],d)$ eine offene Kugel, aber in [mm] $(Y,d_Y)=(\IR,d_{\IR})$ [/mm] ist es keine offene Kugel...
Ich hoffe, dass das ganze irgendwie verständlich ist. Am besten guckst du dir mal ganz genau die Definition der Kugeln an, denn dort steht auch genau drin, dass der metrische Raum, den man betrachtet, eine Rolle dabei spielt...
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo,
ja der Knackpunkt lag tatsächlich bei der Frage: In welchem metrischen Raum befinde ich mich? Das Wort Kugel sollte man auch nicht immer so wörtlich nehmen
Und ich habe es jetzt verstanden  , danke euch!!! Jedenfalls die Aussage a) des Satzes
morgen folgen dann b) und c). Hoffentlich dauert das nicht wieder so lange. Gerade in Analysis dauert es bei mir noch Ewigkeiten, bis ich überhaupt irgendetwas verstanden habe, sodass ich fast wütender darüber bin, dass es so lange gedauert hat, als das ich mich freue. Jaaaa die Frust im ersten Semester, ich weiß 
Jedenfalls noch mal: danke!
Gruß, dancingestrella
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