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| Aufgabe | (M, T) sei ein topologischer Raum und N eine nichtleere Teilmenge von M.
[mm] T_N=\{G\cap N|G\in T\} [/mm] heißt die von T auf N induzierte Topologie
Aufgabe: Zeige [mm] (N,T_N) [/mm] ist ein topologischer Raum. |
Also ich kenne die drei Axiome der Topologie (in unserem Fall)
1. N und die leere Menge muss in [mm] T_N [/mm] liegen
2. Jeder endliche Durchschnitt der Mengen aus T muss wieder in T liegen
3. Jede beliebige Vereinigung von Mengen aus T muss wieder in T liegen
Aber ich weiss nicht wie ich es in diesem Fall zeigen soll, dass die drei Axiome gelten.
Würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zu 1.)
Es gilt doch z.B. $M [mm] \in [/mm] T$, weil T eine Topologie auf M ist. Dann ist doch $N [mm] \cap [/mm] M = N [mm] \in T_N$. [/mm] Damit hast du schonmal eine Sache gezeigt. Das mit der leeren Menge ist mindestens genau so einfach!
Für den Rest nutze auch aus, dass T schon eine Topologie auf M ist.
Für 2.) willst du z.B. [mm] $(G_1 \cap [/mm] N) [mm] \cap (G_2 \cap [/mm] N) [mm] \in T_N$ [/mm] zeigen. Gut, die Klammern kann man weglassen und ein N kannst du dir auch sparen. Die Menge, die du dann siehst ist auch in [mm] T_N, [/mm] weil... [hier bitte einfügen].
Hilft dir das erst einmal?
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Vielen Dank schon einmal
Also zu 1.)
wenn ich es richtig verstanden habe gilt ja $ N [mm] \cap [/mm] M = N [mm] \in T_N [/mm] $ , da $ M [mm] \in [/mm] T $ ist und N eine Teilmenge von M ist und somit der Schnitt von N und M = N sein muss.
Mit der [mm] \emptyset [/mm] mache ist es doch dann analog so:
$ N [mm] \cap \emptyset [/mm] = N [mm] \in T_N [/mm] $ , da ja gilt [mm] \emptyset \in [/mm] T
Zu 2.)
steht ja dann [mm] G_1 \cap G_2 \cap [/mm] N und die sind ja [mm] \in T_N [/mm] da nach Voraussetzung gilt G [mm] \in [/mm] T oder?
Zu 3.)
Hier muss ich doch in unserem Fall zeigen, dass
[mm] G_i \cap [/mm] N [mm] \in T_N [/mm] , i [mm] \in [/mm] I [mm] \Rightarrow \bigcup_{i \in I} G_i \cap [/mm] N [mm] \in T_N [/mm] gilt.
wie könnte ich es denn für 3.) mathematisch korrekt beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank schon einmal
>
> Also zu 1.)
> wenn ich es richtig verstanden habe gilt ja [mm]N \cap M = N \in T_N[/mm]
> , da [mm]M \in T[/mm] ist und N eine Teilmenge von M ist und somit
> der Schnitt von N und M = N sein muss.
ja. (Wobei man die letzten beiden Wörter "sein muss" ein bisschen
durch 'passendere' ersetzen könnte! Aber das ist schon okay so, man
weiß, wie Du das meinst!)
> Mit der [mm]\emptyset[/mm] mache ist es doch dann analog so:
> [mm]N \cap \emptyset \red{ \;=\;N} \in T_N[/mm] , da ja gilt [mm]\emptyset \in[/mm] T
Denke mal über das rotmarkierte nach: Du behauptest, dass jedes
Element, dass in [mm] $N\,$ [/mm] liege, also sowohl in [mm] $N\,$ [/mm] als auch in der
leeren Menge liegen würde. Das geht schief für $N [mm] \not=\emptyset\,.$
[/mm]
Also: Was ist $N [mm] \cap \emptyset$ [/mm] in Wahrheit?
> Zu 2.)
> steht ja dann [mm]G_1 \cap G_2 \cap[/mm] N und die sind ja [mm]\in T_N[/mm]
> da nach Voraussetzung gilt G [mm]\in[/mm] T oder?
Dir ist die Menge [mm] $T_N$ [/mm] nicht klar, oder? Per DEFINITIONEM von [mm] $T_N$ [/mm] gilt,
dass genau dann $G' [mm] \in T_N$ [/mm] ist, wenn es ein $G [mm] \in [/mm] T$ so gibt,
dass $G'=G [mm] \cap N\,.$
[/mm]
Du kannst nochmal drüber nachdenken und Dir mal GANZ präzise damit
aufschreiben, wie man Teil 1.) so löst. (Obiges ist nicht falsch, aber ein
wenig verkürzt, und mir ist nicht klar, ob Dir da alles klar war, was da
gemacht wurde.)
Zum Beispiel nochmal zu der Behauptung $N [mm] \in T_N$:
[/mm]
Es wurde (kurz) gezeigt/begründet, dass man $N=N [mm] \cap M\,$ [/mm] schreiben
kann. Nun ist aber $M [mm] \in T\,,$ [/mm] weil [mm] $T\,$ [/mm] Topologie auf [mm] $M\,$ [/mm] ist. Die
Menge [mm] $N\,$ [/mm] hat also eine Darstellung $N=N [mm] \cap [/mm] G$ mit einem $G [mm] \in T\,,$ [/mm]
denn man kann aus den genannten Gründen einfach [mm] $G:=M\,$ [/mm] setzen.
Daher folgt nach Definition von [mm] $T_N$ [/mm] insbesondere $N [mm] \in T_N\,.$
[/mm]
Jetzt aber zu 2.):
Wir nehmen $G'_1, G'_2 [mm] \in T_N$ [/mm] her. Dann gibt es nach Definition von
[mm] $T_N$ [/mm] also [mm] $G_1,G_2 \in [/mm] T$ so, dass [mm] $G'_1=G_1 \cap [/mm] N$ und [mm] $G'_2=G_2 \cap N\,.$
[/mm]
Es folgt daraus $G'_1 [mm] \cap G'_2=(G_1 \cap [/mm] N) [mm] \cap (G_2 \cap N)\,.$ [/mm] Dies
kann man weiter umschreiben zu
$$G'_1 [mm] \cap G'_2=(G_1 \cap G_2) \cap N\,.$$
[/mm]
(Das ist nicht ganz trivial - man sollte es auf Nachfrage "schnell" beweisen
können - oder an ein bekanntes Gesetz aus der Mengenleere verweisen
können!)
Wenn wir nun [mm] $G:=G_1 \cap G_2$ [/mm] setzen (das [mm] $G\,$ [/mm] hier ist natürlich ein
anderes wie in 1.)), so sind wird am Ziel, wenn wir noch $G [mm] \in T\,,$ [/mm]
anders gesagt: [mm] $G_1 \cap G_2 \in [/mm] T$ begründen können:
Das ergibt sich aber, weil [mm] $G_1,G_2 \in [/mm] T$ und [mm] $T\,$ [/mm] eine Topologie ist.
Das ist eigentlich das, was Du/ihr hier gemacht hast/habt - ich hab's mal
(für manche) übertrieben deutlich notiert.
> Zu 3.)
> Hier muss ich doch in unserem Fall zeigen, dass
> [mm]G_i \cap[/mm] N [mm]\in T_N[/mm] , i [mm]\in[/mm] I [mm]\Rightarrow \bigcup_{i \in I} G_i \cap[/mm]
> N [mm]\in T_N[/mm] gilt.
>
> wie könnte ich es denn für 3.) mathematisch korrekt
> beweisen?
Und das ist der Grund, warum ich das oben alles so ausführlich nochmal
hingeschrieben habe:
Du hast zu zeigen: Sind - für irgendeine Indexmenge [mm] $I\,$ [/mm] - alle [mm] $G_i' \in T_N\,,$
[/mm]
so folgt daraus schon, dass auch [mm] $\bigcup_{i\in U}G'_i \in T_N\,.$
[/mm]
Für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ gilt, dass für $G'_i [mm] \in T_n$ [/mm] (mind.) ein [mm] $G_i \in [/mm] T$ so
existiert, dass [mm] $G'_i=G_i \cap N\,.$
[/mm]
Daraus folgt
[mm] $$\bigcup_{i \in I}G'_i=\bigcup_{i \in I} (G_i \cap N)\,.$$
[/mm]
Und zu zeigen ist, dass das, was nun da steht, auch zu [mm] $T_N$ [/mm] gehört.
Du hast, vermutlich unbedacht, das ganze auch schon umgeformt zu
[mm] $$\bigcup_{i \in I}G'_i=\bigcup_{i \in I} (G_i \cap N)=\Big(\bigcup_{i \in I}G_i\Big) \cap N\,.$$
[/mm]
Das ist korrekt - aber Du solltest Dir klarmachen, dass bei dem zweiten
Gleichheitszeichen "schon etwas passiert ist" - das ist zwar einfach,
das zu begründen, aber deswegen nicht so trivial, dass man das einfach
mal als "klar" benutzen darf - oder sagen wir es so: Wenn Dich jmd.
fragt, warum die zweite Gleichheit gilt, wäre es unpassend, einfach nur
zu antworten "Das ist halt so." Man kann das einfach beweisen, oder man
erinnert (sich) halt mal an Dinge, die man mal in der Mengenlehre gelernt
hat!
Nun aber zum entscheidenden Punkt:
Wenn man
[mm] $$\bigcup_{i \in I}G'_i=\Big(\bigcup_{i \in I}G_i\Big) \cap [/mm] N$$
erkannt hat, dann ist man fertig, wenn man begründen kann, warum
mit [mm] $G:=\bigcup_{i \in I}G_i$ [/mm] dann $G [mm] \in [/mm] T$ gilt! (Ist Dir das nun klar?)
Gruß,
Marcel
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Ich möchte mich sehr herzlich für die ausführliche Antwort bedanken
> Also: Was ist [mm]N \cap \emptyset[/mm] in Wahrheit?
Hier kommt doch wieder [mm] \emptyset [/mm] heraus
aber warum kann ich denn dann direkt sagen dass [mm] \emptyset \in T_N [/mm] ist?
> Du hast, vermutlich unbedacht, das ganze auch schon
> umgeformt zu
> [mm]\bigcup_{i \in I}G'_i=\bigcup_{i \in I} (G_i \cap N)=\Big(\bigcup_{i \in I}G_i\Big) \cap N\,.[/mm]
>
Wie könnte man hier denn die Umformung beweisen.
> Nun aber zum entscheidenden Punkt:
> Wenn man
> [mm]\bigcup_{i \in I}G'_i=\Big(\bigcup_{i \in I}G_i\Big) \cap N[/mm]
>
> erkannt hat, dann ist man fertig, wenn man begründen kann,
> warum
> mit [mm]G:=\bigcup_{i \in I}G_i[/mm] dann [mm]G [mm] \in [/mm] T gilt! (Ist Dir
> das nun klar?)
Den letzten Schritt verstehe ich auch nicht. Du setzt [mm] G:=\bigcup_{i \in I}G_i
[/mm]
aber warum ist dies dann G [mm] \in T_N
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 13.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Johanna,
> > Also: Was ist [mm]N \cap \emptyset[/mm] in Wahrheit?
>
> Hier kommt doch wieder [mm]\emptyset[/mm] heraus
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber warum kann ich denn dann direkt sagen dass [mm]\emptyset \in T_N[/mm]
> ist?
[mm] $\emptyset\in T_N$ [/mm] bedeutet nach Definition von [mm] $T_N$ [/mm] gerade, dass ein [mm] $G\in [/mm] T$ existiert mit [mm] $\emptyset=G\cap [/mm] N$. Letzteres ist also zu zeigen.
Nun behaupten wir: [mm] $G:=\emptyset$ [/mm] leistet das Gewünschte.
Zum Nachweis müssen wir zwei Dinge prüfen:
1. [mm] $G\in [/mm] T$
2. [mm] $\emptyset=G\cap [/mm] N$
Zu 1.: Da T eine Topologie ist, gilt [mm] $\underbrace{\emptyset}_{=G}\in [/mm] T$.
Zu 2.: Es gilt [mm] $G\cap N=\emptyset\cap N=\emptyset$.
[/mm]
> Den letzten Schritt verstehe ich auch nicht. Du setzt [mm]G:=\bigcup_{i \in I}G_i[/mm] aber warum ist dies dann G [mm]\in T_N[/mm]
Nein, nicht [mm] $G\in T_N$, [/mm] sondern [mm] $G\in [/mm] T$ hat Marcel behauptet.
Und das gilt wegen [mm] $G_i\in [/mm] T$ für alle [mm] $i\in [/mm] I$, da T eine Topologie ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Di 13.11.2012 | | Autor: | JohannaM03 |
Echt Klasse von euch, dass ihr mir so geholfen habt.
Dank euren Hilfestellungen habe ich keine Unklarheiten mehr.
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