Topologie in einem Körper K < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
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Ich habe einige Probleme mit dem Beweis und der Vortsellung folgender Aussagen:
1. [mm] \IR \subset \IC [/mm] abgeschlossen in [mm] \IC, [/mm] nicht offen in [mm] \IC [/mm]
2. K (Körper) offen und abgeschlossen in K
3. [mm] \emptyset [/mm] offen und abgeschlossen
4. D [mm] \subset \IC [/mm] offen in IC [mm] \Rightarrow [/mm] D [mm] \cap [/mm] offen in IR
kann mir bitte jemand eine anschauliche Erklärung evt. Beweis geben?
Danke schon mal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> 1. [mm]\IR \subset \IC[/mm] abgeschlossen in [mm]\IC,[/mm]
Entweder du machst es dir über das Folgenkriterium klar (jede Folge in [mm] $\IC$ [/mm] konvergenter reeller Zahlen konvergiert auch als Folge in [mm] $\IR$u [/mm] nd damit gegen eine reelle Zahl) oder über das Komplement: Hast du einen Punkt in [mm] $\IC$, [/mm] der nicht auf der reellen Achse liegt, so findest du offenbar auch eine ganze Umgebung in [mm] $\IC$ [/mm] dieses Punktes, die die reelle Achse nicht schneidet.
> nicht offen in
> [mm]\IC[/mm]
Du findest in [mm] $\IC$ [/mm] keinen Ball um eine reelle Zahl, der nur reelle Zahlen enthält.
> 2. K (Körper) offen und abgeschlossen in K
Im Falle einer Topologie, die über eine Metrik definiert wird, folgt die Offenheit unmittelbar aus der Definition (jeder Ball ist ja in ganz [mm] $\IK$ [/mm] enthalten).
> 3. [mm]\emptyset[/mm] offen und abgeschlossen
Im Falle einer Topologie, die über eine Metrik definiert wird, enthält [mm] $\emptyset$ [/mm] keinen Punkt, für den man das [mm] $\varepsilon$-Ball-Kriterium [/mm] überprüfen müsste; daher ist das Kriterium erfüllt.
Die Abgeschlossenheit der jeweiligen Mengen aus 2 und 3 folgt aus der Offenheit der Komplemente.
> 4. D [mm]\subset \IC[/mm] offen in IC [mm]\Rightarrow[/mm] D [mm]\cap[/mm] offen in
> IR
Die Aussage ist die Folgende: Die normale Topologie auf [mm] $\IR$ [/mm] ist genau die Spurtopologie von [mm] $\IC$. [/mm] Anschaulich klar: Die offenen Intervalle sind die Schnitte in [mm] $\IC$ [/mm] offener Kugeln mit der reellen Achse.
Liebe Grüße
Julius
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