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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
| Aufgabe | Sei M:={(x,y) aus [mm] IR²;x²+y²\le1}. [/mm] Berechnen Sie [mm] d_{M}(2,1) [/mm] in den Normen [mm] l_{1}, l_{2} [/mm] und [mm] l_{infty}.
[/mm]
[mm] Hinweis:d_{M}(x):=inf [/mm] {d(x,a);a aus M}. |
Hallo,
wie soll ich das machern.Ich sitzte schon lange an der obigen Aufgabe, aber ich erhalte keine gute Lösung.
Nehmen wir als Beispiel die l1-Norm:
Ix-2I+IyI soll nun auf [mm] x²+y²\le1 [/mm] minimal werden. Wie kann ich das denn ohne Differentialrecchnung rausfinden? Hier kann man sich noch an die Lösung herantasten, aber schlimmer wirds wenn ich die 2-Norm nehme.
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 So 29.04.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo,
die offenen Kugeln in der l1 Norm sind Quadrate die auf der Spitze stehen.
Wir suchen eine offenen Kugel mit die den Kreis gerade in einem Punkt
berührt. Die Seite des Quadrates, dass den Kreis berührt ist :
{(x,y) | y = 3 - x - r [mm] \wedge [/mm] 2- r < x < 2}
Da die Gerade im Winkel 45° verläuft, berührt sie den Kreis im Punkt:
[mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})
[/mm]
dort ist r = 3 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
danke für deine schnelle Antwort, leider verstehe ich dich nicht so ganz, was ist denn die endgültige Lösung? Als Lösung müsste für die 1-Norm nämlich 1 rauskommen.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Mo 30.04.2007 | | Autor: | komduck |
Wenn die Lösung 1 wäre dann müßte eine l1-Kugel den Kreis berühren.
Die l1-Kugel für [mm] \varepsilon [/mm] = 1 ist das Quadrat mit den Ecken:
(1,1),(2,2),(3,1),(2,1) da ist noch reichlich Platz zwischen dem Kreis
und dem Quadrat...
Also ich bekomme heraus:
$ [mm] d_{M}(2,1) [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{2} [/mm] $
Wenn wir die l2-Norm haben dann sind die l2-Kugen Kreise.
Also suchen wir eine Kreis um (2,1) der den Kreis M berührt.
Der Berührpunkt muß auf der Verbindung der beiden Mittelpunkte liegen.
Also ist die Lösung der Abstand beider Mittelpunkte minus eins:
[mm] \wurzel{2²+1²} [/mm] - 1 = [mm] \wurzel{5} [/mm] - 1
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 01.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
danke für deine Antwort, dass hat mir sehr geholfen. Das mit der l2-Norm habe ich verstanden und genau das sollte auch rauskommen. Mit 1 habe ich mich vertant, 1 ist die Lösung für die l-unendlich-Norm und bei der l1-Norm sollte [mm] 3-\bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] rauskommen? Wie kommt man dadrauf. In deiner Lösung bist du auf was ähnliches gekommen, wie kommst du auf das Quadrat. Wäre echt nett von dir, wenn du mir das erklären könntest.
Gruß
Hund
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Di 01.05.2007 | | Autor: | komduck |
Wir suchen ein r mit |2-x|+|1-y| = r und $ x²+y² = 1 $ die Lösung ist
sicherlich im linken unteren Quadranten vom Punkt (2,1).
also x<2 und y<1 dann fallen den Betragstriche weg:
2-x + 1-y = r also y = 3 - r - x das ist eine Gerade mit Steigung -1
wenn sie Tangente vom Kreis sein soll dann geht das nur im Punkt
$ [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] $
wenn wir das in die Gerade einsetzen bekommen wir für
r = 3 - x - y = 3 - [mm] \bruch{2}{\wurzel{2}} [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{2}
[/mm]
komduck
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Di 01.05.2007 | | Autor: | Hund |
Danke! Jetzt hab ich es verstanden!
Gruß
Hund
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