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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Mo 08.09.2008 | | Autor: | snicer |
| Aufgabe | Gegeben ist ein Tetraeder mit P1 ; P2 ; P3 ; S mit S(1|-1|1), P1(3|5|1) P2(5|-5|5 ; P3(3|3|-1)
a) Die Ebene mit der Gleichung 8x + y - z = 11 schneidet das Tetraeder in einem Dreieck. Fertige eine Skizze an. Berechne die Koordinaten seiner Ecken
b) Welche Strecke der Geraden mit der Parameterdarstellung
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 + x \\ 1 - x \\ 1 + x} [/mm] liegt innerhalb der dreiseitigen Pyramide |
Hallo erstmal.
Erstmal habe ich diese Aufgabe damit angefangen (nach der Skizze), dass ich die Ebenengleichung in die Parameterforum umgestellt habe durch die Punkte x1 = [mm] \vektor{11/8 \\ 0 \\ 0} [/mm] usw. und kam an ende auf eine Ebenegleichung :
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{11/8 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r * [mm] \vektor{-11/8 \\ 11 \\ 0} [/mm] + t * [mm] \vektor{0 \\ -11\\ -11} [/mm]
Ich hoffe diese ist richtig..
Mein weiterer Gedanke war, dass ich die Schnittpunkte für das Dreieck welches die Ebene auf dem Tetraeder schneidet ausrechne in dem ich die Lagebeziehung zwischen den gegeben Punkten und ausgerechneten Vektoren des Tetraeders
(z.B [mm] \vec{S-P1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] + x * [mm] \vektor{2 \\ 6 \\ 0}) [/mm] ausrechne und so die Schnittpunkte für das Dreieck erreiche.
Das erste was mich irritiert hat ist, dass ich für alle möglichen Schnittpunkte ein Ergebnis bekam und keins die Ebene nicht schnitt.
Was ich fragen möchte: Ist der Weg der richtige (mit der Lagebeziehung) und wenn ja, wie verfahre ich weiter?
und wie verfahre ich mit b)? da weiß ich leider absolut kein rat
Schon einmal danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
a)
Die Ebenengleichung ist richtig, obwohl du auch hättest mit der Koordinatenform rechnen können. Aber wenn ihr das so sonst nicht macht, dann nimm deine Parameterform! Vorher kannst du aber noch die Spannvektoren in einfachere Vektoren ändern.
ich weiß nicht genau wie deine Skizze aussieht, aber sieht man da schon, welche Seiten des Tetraeders die Ebene schneidet? Wenn ja, dann musst du ja nur die untersuchen.
Wenn nicht, dann musst du alle 6 Geradengleichungen aufstellen, die die Kanten des Tetraeders enthalten. Wie z.B. [mm] \overrightarrow{SP_1}, [/mm] was du ja schon richtig erwähnt hast.
Du musst dann alle Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ebene bestimmen, auch richtig. Aber du musst aufpassen: du erhälst wahrscheinlich für alle 6 Geraden Schnittpunkte mit der Ebene, aber 3 davon werden außerhalb des Tetraeders liegen, also nicht auf einer Kanten!
Die kannst du folgendermaßen rausfiltern:
Wenn du den Schnittpunkt berechnest (un das Gleichungssystem löst, oder wie ihr das macht), dann erhälst du ja Werte für die 3 Parameter. Den einen Parameter der Geraden und 2 Parameter der Ebene. Der Parameter der Geraden muss zwischen 0 und 1 liegen, damit der Schnittpunkt auch wirklich auf einer Tetraederkante ist! Ist der Parameter der Geraden kleiner als 0 oder größer als 1, kannst du das Ergebnis vernachlässigen.
Das liegt daran: Wenn du z.B. die Gerade durch S und [mm] P_1 [/mm] aufstellst, dann nimmst du ja einfach [mm] \overrightarrow{SP_1} [/mm] als Richtungsvektor und S als Aufpunkt, nehm' ich an. Wenn S Aufpunkt ist und du einmal [mm] \overrightarrow{SP_1} [/mm] da ranlegst, dann kommst du ja direkt bei [mm] P_1 [/mm] an. Wenn der parameter der Ebene also 1 ist, gelangst du zu [mm] P_1. [/mm] Wenn er 0 ist, bist du bei S, dem Aufpunkt. Wenn du z.B. 2 als Parameter wählst, dann schießt du ja über den Punkt [mm] P_1 [/mm] hinaus sozusagen. Oder wenn du -1 wählst, dann gehst du rückwärts, von S und [mm] P_1 [/mm] weg. Daher liegen alle Punkte zwischen S und [mm] P_1, [/mm] für die der Parameter 0, 1 oder etwas dazwischen ist.
b)
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\1}+t\vektor{1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Erstmal umgeschrieben und das x durch t ersetzt, weil mir das x da nicht gefällt ;)
Hier musst du jetzt erst einmal die Gleichungen der Tetraederseitenflächen aufstellen, genauer gesagt der Ebenen, die diese enthalten. Anschließend musst du die Gerade mit diesen Seitenflächen schneiden.
Aber na ja, mach erstmal a), dann sehen wir (oder jemand anders und du) mal weiter :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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