Termumformung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:17 Do 05.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Hi, ich steh hier gerade vor einer großen Wand und komm nicht weiter. Es geht um eine Termumformung:
Wie kommen die bitte von [mm] b_n=\bruch{-\bruch{1}{2}*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}} [/mm] - [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{-1}{2}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}} [/mm] auf [mm] b_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] [(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}
[/mm]
Die meisten werden wahrscheinlich merken, dass es hier um die Fibonacci Zahlen geht. Aber ich kriege dieses ergebnis irgendwie nicht hin. Habe erst versucht im Zähler und nenner die -1/2 auszuklammer, dann das ganze auf einen hauptenner bringen, da kam da aber auch nichts schönes raus. Wäre über hilfe echt dankbar.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 05.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi, ich steh hier gerade vor einer großen Wand und komm
> nicht weiter. Es geht um eine Termumformung:
>
> Wie kommen die bitte von
> [mm]b_n=\bruch{-\bruch{1}{2}*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}[/mm]
> -
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{-1}{2}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}}[/mm]
> auf [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
> - [mm][(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
>
> Die meisten werden wahrscheinlich merken, dass es hier um
> die Fibonacci Zahlen geht. Aber ich kriege dieses ergebnis
> irgendwie nicht hin. Habe erst versucht im Zähler und
> nenner die -1/2 auszuklammer, dann das ganze auf einen
> hauptenner bringen, da kam da aber auch nichts schönes
> raus. Wäre über hilfe echt dankbar.
>
> Grüße
Wenn du beide Brüche mit [mm] \wurzel{5} [/mm] erweiterst, kommt dann das passende Ergebnis.
[mm] \bruch{-\bruch{1}{2}*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\wurzel{5}*(-\bruch{1}{2})*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{1}{2}*(-\wurzel{5}+\bruch{\wurzel{5}}{\wurzel{5}})}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{1}{2}*(-\wurzel{5}+1)}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{1}{2}*(-(\wurzel{5}-1))}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1)}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n}}
[/mm]
Danach mache beide Brüche gleichnamig, dann solltest du auf das Ergebnis kommen.
Marius
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Hi, vielen dank für deine Hilfe. Du hast ja jetzt eigentlich schon fast alles gemacht, dennoch komm ich irgendwie nicht zum ziel. mache da irgendwie was falsch.
also wir kommen dann auf:
= [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}-\bruch{1}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}} [/mm]
so, dann ja auf einen hauptnenner bringen:
= [mm] \bruch{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n} - \wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}*\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}
[/mm]
so jetzt könnte ich ja [mm] \wurzel{5}(\bruch{1}{2^n}) [/mm] ausklammern, dann folgt:
[mm] \wurzel{5}(\bruch{1}{2^n}) \bruch{(-\wurzel{5}-1))^{n} - (\wurzel{5}-1))^{n}}{(\wurzel{5}-1))^{n}(-\wurzel{5}-1))^{n}}
[/mm]
mache ich gerade was falsch oder wieso hauts nicht hin??
grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Do 05.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi, vielen dank für deine Hilfe. Du hast ja jetzt
> eigentlich schon fast alles gemacht, dennoch komm ich
> irgendwie nicht zum ziel. mache da irgendwie was falsch.
>
> also wir kommen dann auf:
>
> =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}-\bruch{1}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}[/mm]
>
> so, dann ja auf einen hauptnenner bringen:
>
> = [mm]\bruch{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n} - \wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}*\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}[/mm]
>
> so jetzt könnte ich ja [mm]\wurzel{5}(\bruch{1}{2^n})[/mm]
> ausklammern, dann folgt:
Autsch. Du hast keine Summe im Nenner, sondern ein Produkt. Wo soll da "ein gemeinsamer Faktor" zum Ausklammern herkommen? Was du z.B. machen kannst: die zwei Faktoren [mm] \wurzel{5} [/mm] zur Zahl 5 zusammenfassen...
Gruß Abakus
>
> [mm]\wurzel{5}(\bruch{1}{2^n}) \bruch{(-\wurzel{5}-1))^{n} - (\wurzel{5}-1))^{n}}{(\wurzel{5}-1))^{n}(-\wurzel{5}-1))^{n}}[/mm]
>
> mache ich gerade was falsch oder wieso hauts nicht hin??
>
> grüße
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Hi, da hast du natürlich recht, das tut gerade echt voll weh  .
Aber dennoch, klappt was hier nicht. schaut mal:
[mm] =\bruch{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n} - \wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}\cdot{}\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}=\bruch{\bruch{\wurzel{5}((-\wurzel{5}-1)^n - (\wurzel{5}-1)^n)}{2^n}}{\bruch{2*\wurzel{5}((\wurzel{5}-1)^n (-\wurzel{5}-1)^n)}{2^n}}=...
[/mm]
so wie kann man das jetzt weiter umformen um auf [mm] b_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}]
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 05.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi, da hast du natürlich recht, das tut gerade echt voll
> weh .
>
> Aber dennoch, klappt was hier nicht. schaut mal:
>
> [mm]=\bruch{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n} - \wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}\cdot{}\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}=\bruch{\bruch{\wurzel{5}((-\wurzel{5}-1)^n - (\wurzel{5}-1)^n)}{2^n}}{\bruch{2*\wurzel{5}((\wurzel{5}-1)^n (-\wurzel{5}-1)^n)}{2^n}}=...[/mm]
>
>
> so wie kann man das jetzt weiter umformen um auf
> [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm] -
> [mm](\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}][/mm]
Hallo??
[mm] \wurzel{5}*\wurzel{5} [/mm] ist doch nicht [mm] 2\wurzel{5}, [/mm] sondern 5. Multiplizieren muss man aber doch nicht, im Gegenteil. Einen Faktor [mm] \wurzel{5} [/mm] kann man mit dem Zähler kürzen (wo sich dieser Faktor tatsächlich ausklammern lässt)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:33 Do 05.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Ach das ist ja ne s.....,
kriege das irgendwie echt nicht hin. jetzt habe ich auch im zähler gekürzt, trotzdem wirds nichts:
[mm] =\bruch{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n} - \wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}\cdot{}\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}=\bruch{\bruch{\wurzel{5}((-\wurzel{5}-1)^n - (\wurzel{5}-1)^n)}{2^n}}{\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}\cdot{}\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}=\bruch{\bruch{(-\wurzel{5}-1)^n - (\wurzel{5}-1)^n}{2^n}}{(\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{5}-1))^{n}\cdot{}\wurzel{5}(\bruch{1}{2}\cdot{}(-\wurzel{5}-1))^{n}}=
[/mm]
was jetzt??
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> [mm]b_n=\bruch{-\bruch{1}{2}*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}[/mm] - [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{-1}{2}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}}[/mm]
[mm] =\bruch{-\bruch{1}{2}*(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2})^{n+1}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}- \bruch{-\bruch{1}{2}*(1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{-1}{2})^{n+1}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-(-1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{1}{2})^{n}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}- \bruch{(1+\bruch{1}{\wurzel{5}})}{(\bruch{-1}{2})^{n}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{5}}*[\bruch{-(-\wurzel{5}+1)}{(\bruch{1}{2})^{n}*(\wurzel{5}-1))^{n+1}}- \bruch{(\wurzel{5}+1)}{(\bruch{-1}{2})^{n}*(\wurzel{5}+1))^{n+1}}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{5}}*[\bruch{1}{(\bruch{1}{2})^{n}*(\wurzel{5}-1))^{n}}- \bruch{1}{(\bruch{-1}{2})^{n}*(\wurzel{5}+1))^{n}}]
[/mm]
[mm] =\bruch{2^n}{\wurzel{5}}*[\bruch{(\wurzel{5}+1)^{n}}{*(\wurzel{5}-1)^{n}*(\wurzel{5}+1)^{n}}- \bruch{(-1)^n*(\wurzel{5}-1)^{n}}{*(\wurzel{5}+1)^{n}*(\wurzel{5}-1)^{n}}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{5}}*[\bruch{(\wurzel{5}+1)^{n}}{2^n}- \bruch{(-1)^n*(\wurzel{5}-1)^{n}}{2^n}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{5}}*[\bruch{(\wurzel{5}+1)^{n}}{2^n}- \bruch{(-\wurzel{5}+1)^{n}}{2^n}]
[/mm]
> auf [mm]b_n=\bruch{1}{\wurzel{5}}[(\bruch{1+\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm] - [mm][(\bruch{1-\wurzel{5}}{2})^{n}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Do 05.03.2009 | | Autor: | jaruleking |
Super super nett, sorry, dass es manchmal einfach nicht klappt. ist schon s.....
Grüße
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