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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Do 30.04.2009 | | Autor: | izzy |
| Aufgabe | Seien W der reelle Vektorraum der stetigen Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR [/mm] und V der von 1, sinx und cosx aufgespannte Untervektorraum:
W := [mm] C(\IR,\IR), [/mm] V := {a + b*sinx + c*cosx : a,b,c [mm] \in \IR [/mm] }.
a) Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : V [mm] \otimes _{\IR} [/mm] V [mm] \to [/mm] W definiert wird durch
f [mm] \otimes [/mm] g [mm] \mapsto [/mm] f*g
für f, g [mm] \in [/mm] V. Wie üblich bezeichnet f * g die Funktion x [mm] \mapsto [/mm] f(x) * g(x).
b) Ist die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] injektiv? Wenn ja, geben Sie eine Begründung an. Wenn nein, geben Sie eine Basis des Kerns an.
c) Berechnen Sie die Dimension von Im [mm] \phi [/mm] und geben Sie eine Basis von Im [mm] \phi [/mm] an. |
Hallo zusammen
Ich verstehe diese Aufgabe nicht so ganz und wäre deshalb sehr froh über Tipps.
bei a) muss ich hier die Axiome der linearen Abbildung überprüfen?
Liebe Grüsse
izzy
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> Seien W der reelle Vektorraum der stetigen Funktion von [mm]\IR[/mm]
> nach [mm]\IR[/mm] und V der von 1, sinx und cosx aufgespannte
> Untervektorraum:
> W := [mm]C(\IR,\IR),[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V := {a + b*sinx + c*cosx : a,b,c [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }.
> a) Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] : V
> [mm]\otimes _{\IR}[/mm] V [mm]\to[/mm] W definiert wird durch
> f [mm]\otimes[/mm] g [mm]\mapsto[/mm] f*g
> für f, g [mm]\in[/mm] V. Wie üblich bezeichnet f * g die Funktion x
> [mm]\mapsto[/mm] f(x) * g(x).
> b) Ist die lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] injektiv? Wenn ja, geben
> Sie eine Begründung an. Wenn nein, geben Sie eine Basis des
> Kerns an.
> c) Berechnen Sie die Dimension von Im [mm]\phi[/mm] und geben Sie
> eine Basis von Im [mm]\phi[/mm] an.
> Hallo zusammen
> Ich verstehe diese Aufgabe nicht so ganz und wäre deshalb
> sehr froh über Tipps.
> bei a) muss ich hier die Axiome der linearen Abbildung
> überprüfen?
Hallo,
ja, da Du zeigen sollst, daß [mm] \phi [/mm] linear ist, mußt Du vorrechnen, daß die Linearitätsbedingungen gelten.
(Etwas uneins bin ich mir im Moment noch, ob man auch etwas über die Wohldefiniertheit von [mm] \phi [/mm] sagen müßte.)
Für das "Wie" des Zeigens ist es sicher eine geschickte Idee, wenn Du Dir nochmal anguckst, was es mit V[mm]\otimes _{\IR}[/mm] V auf sich hat, welche Elemente da drin sind, wie verknüpft wird.
Gruß v. Angela
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