Temperierte Distributionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Sa 27.01.2007 | | Autor: | k3nny |
| Aufgabe | Zeige, dass das lineare Funktional u,
[mm] (u,\alpha) [/mm] = [mm] \integral_{-unendlich}^{unendlich}{dx e^{x}sin(e^{x}) \alpha(x)}
[/mm]
eine temperierte Distribution definiert. |
Hallo zusammen,
wir haben jetzt neu mit Distributionen angefangen und ich muss sagen ich tu mich schon etwas schwer damit. Meine Frage ist nun: Wie genau kann ich dass denn zeigen?
Mein Ansatz war ich nehme mir einfach irgendeine (womit es schon "unmathematisch" anfängt ^^) schnell abfallende Testfunktion [mm] \alpha [/mm] wie z.B. [mm] e^{-(x^2/2)} [/mm] und lasse die dann auf den "Rest" wirken und zeige, dass das Integral < unendlich ist.
FALLS das der richtige Weg sein sollte dann tun sich mir 2 Fragen auf
1. Kann man sich einfach IRGENDEINE Testfunktion nehmen loslegen oder muss man sowas allgemeiner beweisen?
2. Wie würde ich das Integral auswerten bzw. zeigen dass es < unendlich ist?
Sorry dass ich selbst so wenig Ansatz bzw. Ahnung davon hab, aber weder Skript noch unzählige Internetseiten konnten mir bis jetzt verständlich erklären was ich zu tun habe! Wenn mir jemand sagen könnte wie ich korrekt vorzugehen hab bei so einer Aufgabe wär das echt super ^^
Schon mal danke im Vorraus
k3nny
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Kenny,
da [mm] \alpha [/mm] eine Testfunktion ist, weißt D, dass für jedes $N$ und $l$
[mm] \sup_{x\in\IR,\ 0\leq k \leq l}|\alpha^{(k)}(x)(1+x^2)^N|
[/mm]
existiert. Damit $u$ eine temperierte Distribution ist, mußt Du eine Abschätzung der
Form
$$
[mm] |(u,\alpha)|\leq \text{Konstante}\cdot \sup_{x\in\IR,\ 0\leq k \leq l}|\alpha^{(k)}(x)(1+x^2)^n|
[/mm]
$$
finden, wobei k und n von [mm] \alpha [/mm] unabhängig sein müssen. Versuche es mal mit partieller Integration etwa so:
[mm] |(u,\alpha)|=|\int_{-\infty}^\infty (-\cos(e^x))' \alpha(x) [/mm] dx|=
[mm] |\int_{-\infty}^\infty \cos(e^x) \alpha'(x)dx |=|\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(e^x)}{1+x^2} \alpha'(x)(1+x^2)dx |\leq\left(\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2}dx\right) \sup_{x\in\IR}| \alpha'(x)(1+x^2)|
[/mm]
Volker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mo 29.01.2007 | | Autor: | k3nny |
Hallo Volker, vielen dank für deine Antwort schonmal ... Ich hab noch ein paar Fragen
zuerst zu:
$ [mm] \sup_{x\in\IR,\ 0\leq k \leq l}|\alpha^{(k)}(x)(1+x^2)^N| [/mm] $
$ [mm] |(u,\alpha)|\leq \text{Konstante}\cdot \sup_{x\in\IR,\ 0\leq k \leq l}|\alpha^{(k)}(x)(1+x^2)^n| [/mm] $
was genau ist l in der beziehung .. einfach eine beliebige obere grenze größer als k? und wie ist n bzw. N zu verstehen, liegt das ebenfalls im Intervall [mm] 0\leq [/mm] t [mm] \leq [/mm] l? könnte man also schreiben 0 [mm] \leq [/mm] t,n [mm] \leq [/mm] l ? In dem Beispiel bzw der Lösung, die du unten wählst, wäre t=n=1 seh ich das richtig? ;)
Dann Frage 2 zu
wobei k und n von $ [mm] \alpha [/mm] $ unabhängig sein müssen.
Unabhängig von $ [mm] \alpha [/mm] $ ,heisst dass soviel wie dass $ [mm] \alpha [/mm] $ dann z.B. unendlich oft differenzierbar sein muss?
Dann noch Frage 3
[mm] |\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(e^x)}{1+x^2} \alpha'(x)(1+x^2)dx |\leq\left(\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2}dx\right) \sup_{x\in\IR}| \alpha'(x)(1+x^2)| [/mm] $
bis zur [mm] \leq [/mm] abschätzung ist es perfekt verständlich für mich aber dann ... du schätzt dann den $ [mm] \cos(e^x) [/mm] $ durch 1 ab da der cos maximal 1 wird (beim betrag) oder? nur wieso kannst du jetzt $ [mm] \alpha'(x)(1+x^2)dx [/mm] $ in der ungleichung durch $ [mm] \sup_{x\in\IR}| \alpha'(x)(1+x^2)| [/mm] ersetzen und vor allem aus dem Integral herausziehen? irgendwie peil ich das noch nicht so ganz ;)
naja nichtsdestotrotz hast du mir schon viel weitergeholfen, danke dafür und es wäre nett wenn du dir die Fragen nochma anschaun könntest ;)
k3nny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
l ist eine natürliche Zahl und k durchläuft alle nat. Zahlen zwischen 0 und l. Es soll natürlich n=N sein (Tipfehler!). k und n haben nichts miteinander zu tun.
> In dem Beispiel bzw der Lösung, die du unten wählst, wäre t=n=1 (1)
> seh ich das richtig?
Ja. Also k=n=1.
> Unabhängig von [mm]\alpha[/mm] ,heisst dass soviel wie dass [mm]\alpha[/mm]
> dann z.B. unendlich oft differenzierbar sein muss?
Du setzt ja nur [mm] \alpha's [/mm] aus dem Schwartzraum ein. Die sind alle [mm] C^\infty [/mm] und fallen samt ihren Ableitungen schneller als jedes Polynom. Unabhägig heißt, dass weder k noch n noch die Konstante von [mm] \alpha [/mm] abhängen sollen, d.h. die Abschätzung nur unter der Voraussetzung gilt, dass [mm] \alpha [/mm] eine Schwartzfunktion ist.
> Dann noch Frage 3
>
> [mm]|\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(e^x)}{1+x^2} \alpha'(x)(1+x^2)dx |\leq\left(\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1+x^2}dx\right) \sup_{x\in\IR}| \alpha'(x)(1+x^2)|[/mm]
> $
>
> bis zur [mm]\leq[/mm] abschätzung ist es perfekt verständlich für
> mich aber dann ... du schätzt dann den $ [mm]\cos(e^x)[/mm] $ durch
> 1 ab da der cos maximal 1 wird (beim betrag) oder? nur
> wieso kannst du jetzt $ [mm]\alpha'(x)(1+x^2)dx[/mm] $ in der
> ungleichung durch $ [mm]\sup_{x\in\IR}| \alpha'(x)(1+x^2)|[/mm]
> ersetzen und vor allem aus dem Integral herausziehen?
> irgendwie peil ich das noch nicht so ganz ;)
Genau, ich benutze die Abschätzung
[mm] |\int_a^b f(x)g(x)dx|\leq \int_a^b|f(x)|dx \max_{y\in [a,b]}|g(y)|
[/mm]
und [mm] |cos(e^x)|\leq [/mm] 1. Um das sauber aufzuschreiben solltest Du noch die Definition des uneigentlichen Integrals verwenden.
Volker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Mo 29.01.2007 | | Autor: | k3nny |
Super, ich glaube damit hab ichs dann verstanden, danke für die Zeit die du dir genommen hast ;)
k3nny
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