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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Teilraum vom Vektorraum
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Teilraum vom Vektorraum: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Mo 23.11.2009
Autor: Pes

Aufgabe
Im Vektorraum der reellen 2×2 Matrizen [mm] [b]R[/b]^{2,2} [/mm] sei

    [mm] T_{1}:=\{\pmat{ a & b \\ c & d } | a+d=0\} [/mm]
    [mm] T_{2}:=\{\pmat{ a & b \\ c & d } | c=0\} [/mm]
    [mm] T_{3}:=\{\pmat{ a & b \\ c & d } | ad-bc=0\} [/mm]
          
[mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2} [/mm] sind Teilräume, [mm] T_{3} [/mm] nicht.


Bei Mumie ist diese Aufgabe als Beispiel für Teilräume angegeben.

Ich versteh aber nicht wie man das "für das gilt" (für [mm] T_{1} [/mm] z.B a+d=0) kontrolliert. Was heisst denn bei einer 2x2 Matrix a+d=0.
Wann oder wie addiert man zwei koordinaten einer Matrix?

Danke

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Teilraum vom Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 Mo 23.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Wann man das tut? z. Bsp hier in der Aufgabe.
Unterräume haben immer spezielle Eigenschaften.
hier eben die: du betrachtest eben Matrizen der Form
[mm] T_{1}:=\pmat{ a & b \\ c & -a } [/mm]
Wenn ich sage bilden die Vektoren im [mm] R^3 [/mm] mit x1+x2=0 einen UVR des R3 dan fragst du auch nicht, warum man x1+x2 0 setzt.
Gruss leduart

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Teilraum vom Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mo 23.11.2009
Autor: Pes

Ok für a-c=0 kann ich es nachvollziehen. Mein Problem ist eher dieses Umdenken von Vektoren auf Matrizen.
Aber wie ist es denn dann für ad-bc=0.

Dann erhält man ja

[mm] \pmat{ a & b \\ c & bc/a }. [/mm]

Folgt daraus, dass die Bedingung [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }\subseteqR^{2,2} [/mm] nicht erfüllt ist, da a oder d (je nach Umstellung) nicht 0 sein darf?

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Teilraum vom Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 23.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Ok für a-c=0 kann ich es nachvollziehen. Mein Problem ist
> eher dieses Umdenken von Vektoren auf Matrizen.
>  Aber wie ist es denn dann für ad-bc=0.

Hallo,

es scheint Dir um die Aussage, daß     $ [mm] T_{3}:=\{\pmat{ a & b \\ c & d } | ad-bc=0\} [/mm] $ kein VR ist, zu gehen.


>  
> Dann erhält man ja
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & bc/a }.[/mm]

Nein, das erhält man nur für [mm] a\not=0. [/mm]


> Folgt daraus, dass die Bedingung [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }\subseteq R^{2,2}[/mm]

???

Natürlich ist die Nullmatrix in [mm] \IR^{2x2} [/mm] - das steht ja nicht zur Debatte.

Fragen kann man sich, ob die Nullmatrix in [mm] T_3 [/mm] ist. man überezugt sich leicht, daß das der fall ist.

Aber mit ein wenig Geschick wirst Du zwei matrizen aus [mm] T_3 [/mm] finden, deren Summe nicht in [mm] T_3 [/mm] ist. Damit gilt dan ndas zweiter der Untervektorraumkriterien nicht.

Gruß v. Angela




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Teilraum vom Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:36 Mo 23.11.2009
Autor: Pes

Nun hoff ich die Lösung gefunden zu haben.

Also aus ad-bc=0 folgt ja, dass a=b [mm] \wedge [/mm] d=c
oder a=c [mm] \wedge [/mm] d=b, damit die Differenz null ergeben kann.

Addiert man jedoch zwei Matrizen, die zwar die Bedingung ad-bc=0 erfüllen, jedoch eines mit a=b [mm] \wedge [/mm] ... und das andere mit a=c [mm] \wedge [/mm] ... . Dann erfüllt die Summenmatrix nicht mehr die Bedingung ad-bc=0 und ist somit nicht im Teilraum, woraus folgt dass [mm] T_{3} [/mm] kein Teilraum des [mm] R^{2,2} [/mm] ist.



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Teilraum vom Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mo 23.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Nun hoff ich die Lösung gefunden zu haben.
>  
> Also aus ad-bc=0 folgt ja, dass a=b [mm]\wedge[/mm] d=c
>  oder a=c [mm]\wedge[/mm] d=b, damit die Differenz null ergeben
> kann.

Hallo,

nein, deine Folgerungen stimmen nicht:


A:= [mm] \pmat {1&2\\ 5 &10}: [/mm]  es ist 1*10-2*5=0, aber keine Deiner Bedingungen gilt.


> Addiert man jedoch zwei Matrizen,

Gib' ganz konkrete Matrizen an, bei denen es nicht klappt. Mit Zahlen.

Gruß v. Angela

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Teilraum vom Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mo 23.11.2009
Autor: Pes

Stimmt die Bedingungen sind falsch.
Als Gegenbeispiel hät ich:

[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3 } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }=\pmat{ 2 & 3 \\ 5 & 4 } [/mm]

[mm] 2*4-3*5\not=0. [/mm]

Das wäre ja ein Beweis.

Danke für die Hilfe

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Teilraum vom Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mo 23.11.2009
Autor: angela.h.b.


>  Als Gegenbeispiel hät ich:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 3 & 3 }[/mm] + [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }=\pmat{ 2 & 3 \\ 5 & 4 }[/mm]
>  
> [mm]2*4-3*5\not=0.[/mm]
>  
> Das wäre ja ein Beweis.

Leider nicht: bei der zweiten Matrix ist doch die Determinante gar nicht =0.

Gruß v. Angela

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Teilraum vom Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Mo 23.11.2009
Autor: Pes

Ja stimmt.
Habe da einen fehler gemacht. Der zweite Vektor muss
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] lauten.

Dann gilt es aber wirklich nicht mehr.

Dann kommt [mm] \pmat{ 2 & 3 \\ 4 & 5 } [/mm] raus und dessen Determinante ist ungleich 0.



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Teilraum vom Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Mo 23.11.2009
Autor: leduart

Hallo
Richtig
Gruss leduart

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