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| Aufgabe | Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen Zahlenebene:
a) [mm] M_1=\{z\in\IC| |\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}\}
[/mm]
b) [mm] M_2=\{z\in\IC| Re(z)+Im(z)<1\}
[/mm]
c) [mm] M_3=\{z\in\IC| |z-3|=2|z+3|\}
[/mm]
d) Die Schnittmenge [mm] M_4=M_1\cap{M_2}\cap{M_3} [/mm] |
a)
Ohne es meinen Ansatz zu erklären, ist die folgende umformung richtig?
[mm] |\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] |\bruch{1}{2}x+1+i(\bruch{1}{2}y+2)|\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}x^2+x+1+\bruch{1}{4}y^2+2y+4\ge\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x^2+4x+4+y^2+8y+16\ge{1}
[/mm]
[mm] (x+2)^2+(y+4)^2\ge{1}
[/mm]
[mm] |z+2+4i|\ge{1}
[/mm]
Ist die umformung richtig?
Mir fällt gerade auf: Hätte ich die erste gleichung einfach mit 2 multiplizieren können bzw gilt 2|x+y|=|2x+2y| ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 So 27.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Skizzieren Sie folgende Mengen in der Gauß’schen
> Zahlenebene:
>
> a) [mm]M_1=\{z\in\IC| |\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}\}[/mm]
>
> b) [mm]M_2=\{z\in\IC| Re(z)+Im(z)<1\}[/mm]
>
> c) [mm]M_3=\{z\in\IC| |z-3|=2|z+3|\}[/mm]
>
> d) Die Schnittmenge [mm]M_4=M_1\cap{M_2}\cap{M_3}[/mm]
> a)
>
> Ohne es meinen Ansatz zu erklären, ist die folgende
> umformung richtig?
>
> [mm]|\bruch{1}{2}z+1+2i|\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]|\bruch{1}{2}x+1+i(\bruch{1}{2}y+2)|\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2}\ge\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm](\bruch{1}{2}x+1)^2+(\bruch{1}{2}y+2)^2\ge\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}x^2+x+1+\bruch{1}{4}y^2+2y+4\ge\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]x^2+4x+4+y^2+8y+16\ge{1}[/mm]
>
> [mm](x+2)^2+(y+4)^2\ge{1}[/mm]
>
> [mm]|z+2+4i|\ge{1}[/mm]
>
>
> Ist die umformung richtig?
ja, aber gebracht hat das nix
>
> Mir fällt gerade auf: Hätte ich die erste gleichung
> einfach mit 2 multiplizieren können
eben !
> bzw gilt
> 2|x+y|=|2x+2y| ?
ja
tipp: Kreis um -2-4i mit Radius 1. was hat das mit [mm] M_1 [/mm] zu tun?
fred
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> tipp: Kreis um -2-4i mit Radius 1. was hat das mit [mm]M_1[/mm] zu
> tun?
Die menge [mm] M_1 [/mm] sind alle Punkte auf der kreislinie und ausherhalb
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zu aufgabe b) bräcuhte ich einen Tipp
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Wenn du klassisch [mm]z = x + \operatorname{i}y[/mm] schreibst, dann lautet die Bedingung bei b) doch
[mm]x+y < 1[/mm]
Das ist jetzt rein reelle Mathematik. Am besten bestimmst du zunächst die Punkte mit [mm]x+y = 1[/mm]. Die besitzen eine wohlbekannte geometrische Darstellung. Und dann ist es nicht mehr weit zu [mm]x+y < 1[/mm].
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> Am besten bestimmst
> du zunächst die Punkte mit [mm]x+y = 1[/mm]. Die besitzen eine
> wohlbekannte geometrische Darstellung.
Ich habe ein paar punkte aufgetragen und mir ist dann aufgefallen das man eine gerade durch alle Punkte ziehen kann.
mir ist das nur aufgefallen weil ich ein paar Punkte im Koordinatensystem aufgetragen habe. Kann man auch ohne das auftragen von ein paar punkten erkennen das die Lösungsmenge von x+y=1 eine gerade ist?
[mm]x+y <1[/mm]
ist dann alle punkte unterhalb der geraden
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Entschuldige, wenn ich ganz direkt frage: Lernt man heute auf der Schule nicht mehr, daß alle Punkte mit der Gleichung [mm]y = -x+1[/mm] auf einer Geraden mit der Steigung -1 und dem [mm]y[/mm]-Achsenabschnitt 1 liegen? Das ist doch Stoff der Klasse 7 oder 8 und die kleine Weihe, um überhaupt den Tempel der Höheren Mathematik betreten zu dürfen.
Ich bin wirklich erschüttert ...
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Doch lernt man. jetzt sehe ich auch das es eine geradengleichung ist. Hört sich vielleicht doof an, aber ich habe die geradengleichung auf dem ersten blick nicht erkannt, weil das y nicht alleine auf einer seite stand
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c) [mm] M_3=\{z\in\IC| |z-3|=2|z+3|\}
[/mm]
|z-3|=2|z+3|
[mm] \wurzel{(x-3)^2+y^2}=2\wurzel{(x+3)^2+y^2}
[/mm]
[mm] (x-3)^2+y^2=4(x+3)^2+4y^2
[/mm]
[mm] x^2-6x+9+y^2=4x^2+24x+36+4y^2
[/mm]
[mm] 0=3x^2+30x-27+3y^2
[/mm]
[mm] 0=x^2+10x-9+y^2
[/mm]
[mm] y=\pm\wurzel{-x^2-10x+9}
[/mm]
Stimmt die Lösung? wie soll ich das nun skizzieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Mo 28.03.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
erkennst du nicht, wenn du die wurzel nicht ziehst, was der geometrische Ort ist? dann mach zu [mm] x^2+10x [/mm] die quadratische Ergänzung.
Gruß leduart
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[mm] 0=x^2+10x+9+y^2
[/mm]
[mm] y_1=\wurzel{-x^2-10x-9}
[/mm]
[mm] y_2=-\wurzel{-x^2-10x-9}
[/mm]
Ich habe [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] in einen Online plotter zeichnen lassen. [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] bilden jeweils einen Halbkreis. Ich weiß aber nicht wie man ohne online plotter darauf kommt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> erkennst du nicht, wenn du die wurzel nicht ziehst, was der geometrische Ort ist?
Nein
> dann mach zu [mm]x^2+10x[/mm] die quadratische Ergänzung.
[mm] 0=x^2+10x+9+y^2
[/mm]
[mm] 0=x^2+10x+(\bruch{10}{2})^2-(\bruch{10}{2})^2+y^2
[/mm]
[mm] 0=(x+5)^2-25+y^2
[/mm]
Wie mache ich nun weiter? Habe noch nicht verstanden wie mir das weiter hilft.
ich weiß das die Lösung ein kreis ist, aber ich weiß nicht woher man sieht dass die gleichung [mm] 0=x^2+10x+9+y^2 [/mm] einen kreis beschreibt. Muss man hierfür bestimmte eigenschaften eines kreises kennen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Mo 28.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> [mm]0=x^2+10x+9+y^2[/mm]
>
> [mm]y_1=\wurzel{-x^2-10x-9}[/mm]
>
> [mm]y_2=-\wurzel{-x^2-10x-9}[/mm]
>
> Ich habe [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] in einen Online plotter zeichnen
> lassen. [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] bilden jeweils einen Halbkreis. Ich
> weiß aber nicht wie man ohne online plotter darauf kommt.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> > erkennst du nicht, wenn du die wurzel nicht ziehst, was
> der geometrische Ort ist?
>
> Nein
>
> > dann mach zu [mm]x^2+10x[/mm] die quadratische Ergänzung.
>
> [mm]0=x^2+10x+9+y^2[/mm]
>
> [mm]0=x^2+10x+(\bruch{10}{2})^2-(\bruch{10}{2})^2+y^2[/mm]
>
> [mm]0=(x+5)^2-25+y^2[/mm]
>
> Wie mache ich nun weiter? Habe noch nicht verstanden wie
> mir das weiter hilft.
bring 25 auf die linke Seite, dann solltest du sehen:
Kreislinie um (-5,0) mit Radius 5
Fred
>
> ich weiß das die Lösung ein kreis ist, aber ich weiß
> nicht woher man sieht dass die gleichung [mm]0=x^2+10x+9+y^2[/mm]
> einen kreis beschreibt. Muss man hierfür bestimmte
> eigenschaften eines kreises kennen?
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Die Lösung stimmt fast. Ein Vorzeichenfehler ab der drittuntersten Zeile.
Hinter der Aufgabe steckt geometrisch gesprochen der ![[]](/images/popup.gif) Kreis des Apollonios:
[mm]\frac{\left| z-3 \right|}{\left| z+3 \right|} = 2[/mm]
[mm]X[/mm] im Link entspricht hier [mm]z[/mm], [mm]A[/mm] entspricht [mm]a=3[/mm] und [mm]B[/mm] entspricht [mm]b=-3[/mm]. Und schließlich ist [mm]\lambda = 2[/mm]. Da [mm]a[/mm] und [mm]b[/mm] auf der reellen Achse liegen, müssen auch der äußere und innere Teilungspunkt (siehe Link) und der Kreismittelpunkt als deren Mitte auf der reellen Achse liegen. Zur Bestimmung der Teilungspunkte muß man daher nur
[mm]\frac{\left| t-3 \right|}{\left| t+3 \right|} = 2[/mm]
reell lösen. Das macht die Sache mit dem Betrag einfach, denn:
[mm]\frac{\left| t-3 \right|}{\left| t+3 \right|} = 2 \ \ \Leftrightarrow \ \ \left| t-3 \right| = 2 \cdot \left| t+3 \right| \ \ \Leftrightarrow \ \ t-3 = \pm 2(t+3)[/mm]
Die beiden letzten Gleichungen haben die Lösungen [mm]t_1 = -1[/mm] (innerer Teilungspunkt) und [mm]t_2 = -9[/mm] (äußerer Teilungspunkt). Zu den Begriffen: [mm]t_1[/mm] teilt die Strecke von [mm]a[/mm] nach [mm]b[/mm] im Verhältnis [mm]\lambda = 2 = 2:1[/mm], das heißt, das Stück von [mm]a=3[/mm] bis [mm]t_1 = -1[/mm] ist doppelt so groß wie das Stück von [mm]t_1 = -1[/mm] bis [mm]b=-3[/mm]. Entsprechendes gilt für den äußeren Teilungspunkt [mm]t_2[/mm]: Die Strecke von [mm]a=3[/mm] bis [mm]t_2 = -9[/mm] ist doppelt so groß wie die Strecke von [mm]t_2 = -9[/mm] bis [mm]b=-3[/mm]. Das läßt sich an einer Skizze alles schön verfolgen. Und nach der Skizze im Link liegt der Kreismittelpunkt in der Mitte von [mm]t_1[/mm] und [mm]t_2[/mm], also bei [mm]m = -5[/mm]. Und auch der Kreisradius kann abgelesen werden: [mm]r=4[/mm] als die Hälfte des Abstands von [mm]t_1[/mm] nach [mm]t_2[/mm]. Das stimmt auch mit der im Link angegebenen Formel überein, auf unsere Verhältnisse umgeschrieben:
[mm]r = \frac{\lambda}{\left| \lambda^2 - 1 \right|} \cdot \left| b-a \right| = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4[/mm]
Das alles braucht man gar nicht zu wissen, um die Aufgabe zu lösen. Es ist aber sicher nützlich, wenn man sie in einen größeren Zusammenhang einordnen kann. Immerhin weißt du jetzt, daß die Lösung ein Kreis sein muß. Forme entsprechend um.
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Im folgenden Bild sind meine Lösungen zusammengefasst:
Im folgendem Bild ist die menge [mm] M_1 [/mm] rot markiert. Das ist die rote kreislinie und alles außerhalb.
[mm] M_2 [/mm] ist blau markiert. das ist die blaue gerade und alles unterhalb der geraden
[mm] M_3 [/mm] ist die Grüne kreislinie
[Dateianhang nicht öffentlich]
M4 ist lila markiert im folgenden Bild.
[Dateianhang nicht öffentlich]
stimmen die Lösungen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Leider wurde meine Mitteilung von allen ignoriert: Der große Kreis stimmt nicht. Das Vorgehen zur Bestimmung der Schnittmenge ist prinzipiell korrekt.
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Hallo,
was genau stimmt denn nicht? Ich habe den von dir genannten vorzeichenfehler korrigiert
Den kreis habe ich nicht mit der Definition des "kreis des Apollonios" bestimmt, sondern mit der kreisgleichung:
[mm]|z-3|=2|z+3|[/mm]
$ [mm] \wurzel{(x-3)^2+y^2}=2\wurzel{(x+3)^2+y^2} [/mm] $
$ [mm] (x-3)^2+y^2=4(x+3)^2+4y^2 [/mm] $
$ [mm] x^2-6x+9+y^2=4x^2+24x+36+4y^2 [/mm] $
$ [mm] 0=3x^2+30x+27+3y^2 [/mm] $
$ [mm] 0=x^2+10x+9+y^2 [/mm] $
$ [mm] 0=x^2+10x+(\bruch{10}{2})^2-(\bruch{10}{2})^2+y^2 [/mm] $
$ [mm] 0=(x+5)^2-25+y^2 [/mm] $
[mm] 25=(x+5)^2+y^2
[/mm]
Und diese Gleichung entspricht einem kreis am Punkt (-5,0) mit dem Radius 5
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> was genau stimmt denn nicht? Ich habe den von dir genannten
> vorzeichenfehler korrigiert
>
> Den kreis habe ich nicht mit der Definition des "kreis des
> Apollonios" bestimmt, sondern mit der kreisgleichung:
>
> [mm]|z-3|=2|z+3|[/mm]
>
> [mm]\wurzel{(x-3)^2+y^2}=2\wurzel{(x+3)^2+y^2}[/mm]
>
> [mm](x-3)^2+y^2=4(x+3)^2+4y^2[/mm]
>
> [mm]x^2-6x+9+y^2=4x^2+24x+36+4y^2[/mm]
>
> [mm]0=3x^2+30x+27+3y^2[/mm]
>
> [mm]0=x^2+10x+9+y^2[/mm]
>
> [mm]0=x^2+10x+(\bruch{10}{2})^2-(\bruch{10}{2})^2+y^2[/mm]
Hier ist Dein Fehler: wo ist die 9 geblieben ? In meiner obigen Antwort habe ich das übersehen, pardon !
>
> [mm]0=(x+5)^2-25+y^2[/mm]
>
> [mm]25=(x+5)^2+y^2[/mm]
Mit der 9 lautet es dann so:
[mm]16=(x+5)^2+y^2[/mm]
>
> Und diese Gleichung entspricht einem kreis am Punkt (-5,0)
> mit dem Radius 5 ,
Nee, Radius 4.
FRED
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Zur vollständigkeitslaber lade ich dann nochmal die richtige lösung hoch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Schnittmenge $ [mm] M_4=M_1\cap{M_2}\cap{M_3} [/mm] $ entspricht der menge [mm] M_3
[/mm]
Das heißt es gilt: [mm] M_4=M_3
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ich finde, daß die Lage der beiden Kreise sich nicht allein aus der Zeichnung erklären läßt. Die Zeichnung erweckt den Anschein, als würden die Kreise getrennt liegen. Aber tun sie das auch? Du solltest daher noch eine Rechnung nachliefern, um deine Antwort zu bestätigen oder zu widerlegen.
Als Hilfe ein elementargeometrischer Zusammenhang: Gegeben seien zwei Kreise mit den Radien [mm]r,R[/mm] und [mm]r
[mm]R+r < d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Jeder Kreis liegt im Äußern des anderen}[/mm]
[mm]R+r = d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Die Kreise berühren sich von außen}[/mm]
[mm]R-r < d < R+r \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Die Kreise schneiden sich in zwei Punkten}[/mm]
[mm]R-r = d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Die Kreise berühren sich von innen}[/mm]
[mm]R-r > d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Der kleinere Kreis liegt im Innern des größeren}[/mm]
Diese Zusammenhänge kann man unmittelbar passenden Skizzen entnehmen.
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Es gilt: R=4, r=1 und d=5
Deshalb gilt die folgende Zusammenhang
[mm]R+r = d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Die Kreise berühren sich von außen}[/mm]
>
> [mm]R+r < d \ \ \Leftrightarrow \ \ \text{Jeder Kreis liegt im Äußern des anderen}[/mm]
Ich weiß nicht was du meinst mit " jeder kreis liegt im Äußeren des anderen"
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Was ist nun [mm]M_4[/mm]?
Zu deiner Frage: Warum zeichnest du nicht Kreise mit [mm]R+r
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[mm] M_4 [/mm] ist der grüne kreis
Das heißt es gilt: [mm] M_4=M_3
[/mm]
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So ist es. Aber ohne Rechnung wäre das aufgrund der Nähe der beiden Kreise nicht zu entscheiden gewesen.
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