Teilmengen metrischer Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 So 10.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Seien $A,B$ Teilmengen eines metrischen Raumes X . Man beweise oder widerlege:
$a) [mm] \overline{A}\cup \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A\cup B}$
[/mm]
$b) [mm] \overline{A}\cap \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A\cap B}$ [/mm] |
Hallo,
a) ist falsch:
$X:= [mm] z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}$
[/mm]
$A:= [mm] x_{1}+....+x_{n} [/mm] ~ [mm] \Rightarrow \overline{A}= z_{1}+...+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}$
[/mm]
$B:= [mm] y_{1}+...+y_{n} [/mm] ~ [mm] \Rightarrow \overline{B}= z_{1}+...+z_{n} [/mm] + [mm] x_{1}+...+x_{n}$
[/mm]
[mm] $\overline{A} \cup \overline{B} [/mm] = [mm] (z_{1}+...+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}) \cup (z_{1}+...+z_{n} [/mm] + [mm] x_{1}+...+x_{n}) [/mm] = [mm] (z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}) [/mm] = X ~ [mm] \forall A\ne [/mm] B$
[mm] $A\cup [/mm] B = [mm] (x_{1}+....+x_{n})\cup [/mm] ( [mm] y_{1}+...+y_{n}) [/mm] = ( [mm] y_{1}+...+y_{n}+x_{1}+....+x_{n} [/mm] ) ~ [mm] \Rightarrow \overline{A \cup B} [/mm] = [mm] (z_{1}+...+z_{n}) \ne (z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}) [/mm] = [mm] \overline{A} \cup \overline{B}$
[/mm]
b) ist falsch:
[mm] $\overline{A}\cap \overline{B} [/mm] = [mm] (z_{1}+..+z_{n}+x_{1}+...+x_{n}) \cap (z_{1}+..+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}) [/mm] = [mm] (z_{1}+...+z_{n}) \ne [/mm] X = [mm] (z_{1}+...+z_{n}+x_{1}+...+x_{n}+y_{1}+...+y_{n})= (\overline{\emptyset})= \overline{A \cap B}$
[/mm]
Ist das so oK?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mo 11.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
als gegenbeispiel nicht falsch aber umständlich!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> ok
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]A,B[/mm] Teilmengen eines metrischen Raumes X . Man
> beweise oder widerlege:
>
> [mm]a) \overline{A}\cup \overline{B} = \overline{A\cup B}[/mm]
>
> [mm]b) \overline{A}\cap \overline{B} = \overline{A\cap B}[/mm]
>
> Hallo,
>
> a) ist falsch:
>
> [mm]X:= z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}[/mm]
Das soll ein metrischer Raum sein ?? Das ist doch Schwachsinn ! Was ist denn "+" ein einem metrischen Raum ?
>
> [mm]A:= x_{1}+....+x_{n} ~ \Rightarrow \overline{A}= z_{1}+...+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}[/mm]
>
> [mm]B:= y_{1}+...+y_{n} ~ \Rightarrow \overline{B}= z_{1}+...+z_{n} + x_{1}+...+x_{n}[/mm]
>
>
> [mm]\overline{A} \cup \overline{B} = (z_{1}+...+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}) \cup (z_{1}+...+z_{n} + x_{1}+...+x_{n}) = (z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}) = X ~ \forall A\ne B[/mm]
>
> [mm]A\cup B = (x_{1}+....+x_{n})\cup ( y_{1}+...+y_{n}) = ( y_{1}+...+y_{n}+x_{1}+....+x_{n} ) ~ \Rightarrow \overline{A \cup B} = (z_{1}+...+z_{n}) \ne (z_{1}+....z_{n}+x_{1}....+x_{n}+y_{1}+...+y_{n}) = \overline{A} \cup \overline{B}[/mm]
>
>
> b) ist falsch:
>
> [mm]\overline{A}\cap \overline{B} = (z_{1}+..+z_{n}+x_{1}+...+x_{n}) \cap (z_{1}+..+z_{n}+y_{1}+...+y_{n}) = (z_{1}+...+z_{n}) \ne X = (z_{1}+...+z_{n}+x_{1}+...+x_{n}+y_{1}+...+y_{n})= (\overline{\emptyset})= \overline{A \cap B}[/mm]
>
>
> Ist das so oK?
Nein überhaupt nicht !!!!
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
X ist hier die Menge aller Punkte des Raumes X.
> FRED
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:48 Di 12.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was soll diese Bemerkung auf freds Kritik?
Ich war zu schnell. und hab deine Schreibweise die völlig falsch ist nicht bemängelt. Fred hat aber echt, [mm] x_1+x_2 [/mm] ist Unsinn., damit auch dein Beweis. du willst einen endlichen Raum X mit nur n Elementen als Gegenbeispiel nehmen, Dann kannst du das. aber einfacher wäre einfach zwei mengen, deren Durchschnit leer ist zu nehmen und etwas allgemeiner zu argumentieren. ist die behauptung denn fur mengen deren Durchscnitt nich leer ist auch falsch?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
>
> X ist hier die Menge aller Punkte des Raumes X.
Na klar ! Und wenn heute Dienstag ist, dann ist heute Dienstag.
FRED
>
>
> > FRED
> Gruss
>
> kushkush
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich kann es nicht mit ansehen, was Du da treibst. Ich zeig Dir mal wie es geht (das ist in diesem Forum zwar nicht gern gesehen, aber ich machs trotzdem, damit Du hoffentlich mal siehst wie man so etwas angeht)
Zu a)
$ [mm] \overline{A}\cup \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A\cup B} [/mm] $ ist richtig. Beweis:
1. Es gilt $ A [mm] \cup [/mm] B [mm] \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}$, [/mm] da $M [mm] \subseteq \overline{M}$ [/mm] für jede Teilmenge M von X.
Da [mm] \overline{A} \cup \overline{B} [/mm] abgeschlossen ist, folgt
(1) $ [mm] \overline{ A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B},$
[/mm]
2. Weiter gilt: $ [mm] \overline{ A } \subseteq \overline{ A \cup B} [/mm] $ und $ [mm] \overline{ B } \subseteq \overline{ A \cup B} [/mm] $: somit
(2) [mm] $\overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{ A \cup B} [/mm] $
Aus (1) und (2) folgt die Beh.
Zu b) $ [mm] \overline{A}\cap \overline{B} [/mm] = [mm] \overline{A\cap B} [/mm] $ ist i.a. falsch.
Beispiel. Wir versehen den [mm] \IR^2 [/mm] mit der eukl. Metrik d
[mm] $A:=\{x \in \IR^2:d(x,(0,0))<1\}$, $B:=\{x \in \IR^2: d(x,(2,0))<1\}$
[/mm]
Dann ist A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset, [/mm] aber [mm] $\overline{A} \cap \overline{B}= \{(1,0)\}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Di 12.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> richtig so:
> FRED
Danke!
Gruss
kushkush
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