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| Aufgabe | Es sei r eine natürliche Zahl. Man beweise:
ggt(r,a)=d <=> ggt(ta+r,a)=d für alle t [mm] \in \IZ [/mm] |
Ich hab versucht, dass mit Hilfe der Teilermenge zu zeigen:
"=>" ggt(r,a)=d => d [mm] \in T_a \cap T_r
[/mm]
=> d|a und d|r
=> d|t*a und d|r mit t [mm] \in \IZ
[/mm]
=> d|t*a+r und d|a
=> ggt(ta+r,a)=d
"<=" ggt(ta+r,a)=d => d [mm] \in T_{ta+r} \cap T_a
[/mm]
=> d|ta+r und d|a
=> d|ta und d|r und d|a
=> ggt(a,r)=d
kann man das so machen?
würde mich über ein paar tipps/ ideen zu meiner aufgabe freuen.
schöne grüße,
grafzahl123
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Di 27.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei r eine natürliche Zahl. Man beweise:
> ggt(r,a)=d <=> ggt(ta+r,a)=d für alle t [mm]\in \IZ[/mm]
> Ich hab
> versucht, dass mit Hilfe der Teilermenge zu zeigen:
>
> "=>" ggt(r,a)=d => d [mm]\in T_a \cap T_r[/mm]
>
> => d|a und d|r
> => d|t*a und d|r mit t [mm]\in \IZ[/mm]
>
> => d|t*a+r und d|a
Soweit ok, aber:
> => ggt(ta+r,a)=d
das folgt dann erstmal nicht (ohne weitere Argumente). Jedoch $d [mm] \in T_{ta+r} \cap T_a$.
[/mm]
> "<=" ggt(ta+r,a)=d => d [mm]\in T_{ta+r} \cap T_a[/mm]
>
> => d|ta+r und d|a
> => d|ta und d|r und d|a
Hier ebenso: es folgt erstmal nicht
> => ggt(a,r)=d
sondern $d [mm] \in T_r \cap T_a$.
[/mm]
> kann man das so machen?
>
> würde mich über ein paar tipps/ ideen zu meiner aufgabe
> freuen.
Zeige doch einfach [mm] $T_r \cap T_a [/mm] = [mm] T_{ta+r} \cap T_a$. [/mm] (Das hast du eigentlich schon gezeigt.)
Daraus folgt aus der Definition des ggT als kleinstes Element des Schnittes der Teilermengen sofort die Behauptung.
LG Felix
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erstmal danke für deine antwort. ich habs leider nicht früher geschafft darauf zu reagieren:
ich weiß nicht genau, wie ich [mm]T_r \cap T_a = T_{ta+r} \cap T_a[/mm] zeigen soll, bzw. wie mans richtig aufschreibt.
ich dachte, ich kann zeigen, dass d das größte element von [mm] T_a \cap T_r [/mm] (weil ggt(a,r)=d) ist und durch umformungen (wie im ersten post) folgt daraus, dass auch d das größte element von [mm] T_{ta+r} \cap T_a [/mm] ist.
vielleciht kannst du mir ja nochmal nen tipp geben wie man da ran geht, bzw. wie mans formal richtig aufschreibt.
schöne grüße,
grafzahl123
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Fr 30.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest gezeigt, dass d ta+r und a telt, aber nicht dass es der größte Teiler der 2 ist, also musst du zeigen dass es a) Teiler ist, und b) keinen größeren gibt.
deine Umformungen zeigen nicht, dass es aus $ [mm] T_{ta+r} \cap T_a [/mm] $ ist.
was weisst du denn noch über den ggt(a,b)
z.B ggt(a,b)=n*a+m*b [mm] n,m\in\IZ [/mm] ?
Gruss leduart
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> was weisst du denn noch über den ggt(a,b)
> z.B ggt(a,b)=n*a+m*b [mm]n,m\in\IZ[/mm] ?
> Gruss leduart
danke für den tipp, aber wie hilft mir das weiter?
ich weiß auch ggt(ta+r,a)=d => x*(ta+r)+ya=ggt(ta+r,a)=d für x,y [mm] \in \IZ [/mm]
=> xta+xr+ya=d
=>a(xt+y)+r*x=d
=> ggt(a,r)=d ???
ich muss doch irgendwie zeigen, dass beide teilermengen die gleichen elemente enthalten. nur wie?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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