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| Aufgabe | | Er nden Sie eine Regel, wie Sie schnell erkennen können, ob eine Zahl a [mm] \in \IZ [/mm] durch 11 teilbar ist. |
Also hier mal meine Ausführung :
a ist durch 11 teilbar [mm] \gdw [/mm] a [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11
[mm] a=\summe_{i=0}^{n} a_{i}*10^{i} [/mm] , wobei [mm] a_{i} [/mm] die Ziffern bezeichnet
da: i=0: 1 [mm] \equiv [/mm] 1 mod 11
i=1: 10 [mm] \equiv [/mm] 10 mod 11 [mm] \equiv [/mm] -1 mod 11
i=2: [mm] 10²\equiv [/mm] 1 mod 11
i=3: [mm] 10³\equiv [/mm] -1 mod 11
ergibt sich für [mm] 10^{n} \equiv (-1)^{n} [/mm] mod 11
Für a gilt also:
[mm] a\equiv \summe_{i=0}^{n} a_{i}*10^{i} \equiv \summe_{i=0}^{n} a_{i}*(-1)^{i} [/mm] mod 11
Da [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i} [/mm] die Quersumme von a ist, ist [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}*(-1)^{i} [/mm] die alternierende Quersumme.
a ist durch 11 teilbar [mm] \gdw [/mm] a [mm] \equiv [/mm] 0 mod 11
gilt also genau dann, wenn die alternierende Qs von a durch 11 teilbar ist.
So ich habe hier jetzt noch überlegt, ob dies genauso negative a gilt.
Reicht es da wenn ich schreibe: Um die Teilbarkeit zu untersuchen reicht es aus den Betrag von a auf die Teilbarkeit zu prüfen damit gilt:
11|a => 11|-a ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Do 17.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht solltest du für
$ [mm] 10^{n} \equiv (-1)^{n} [/mm] $ mod 11
einen echten induktionsbeweis machen, statt also zu schreiben, der steht ja praktisch schon da.
und dass mit a uch -a durch 11 tb ist muss man wohl nicht extra sagen.
Gruss leduart
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also nehme ich als IA n=0 und n=1
IV: [mm] 10^{n} \equiv (-1)^{n} [/mm] mod 11
IS: da müsste ja dann raus kommen : [mm] 10^{n+1} \equiv (-1)^{n}*(-1) [/mm] mod 11
oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 17.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> also nehme ich als IA n=0 und n=1
> IV: [mm]10^{n} \equiv (-1)^{n}[/mm] mod 11
> IS: da müsste ja dann raus kommen : [mm]10^{n+1} \equiv (-1)^{n}*(-1)[/mm]
> mod 11
genau; nur hinschreiben : [mm]10^{n+1} \equiv (-1)^{n}*10 [/mm]
mit 10 [mm] \equiv [/mm] -1 folgt die Beh. [mm]10^{n+1} \equiv (-1)^{n}*(-1)=(-1)^{n+1} [/mm]
Gruss leduart
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Sry, hatte an die falsche Stelle gepostet und wusste nicht wie ich die Frage wieder löschen kann.
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