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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mo 03.05.2010 | | Autor: | pitta |
| Aufgabe | Es sei R ein Integritätsring.
a) Man zeige: 1) Sind p [mm] \in [/mm] R prim und [mm] a\in [/mm] R, so gilt entweder p | a oder 1 [mm] \in [/mm] ggT(a,p).
2) Sind p,q [mm] \in [/mm] R prim, so gilt entweder p~q oder 1 [mm] \in [/mm] ggt(p,q).
b) Man gebe eine formale Definition von kleinsten gemeinsamen Vielfachen von Teilmengen von R an, und formuliere eine Eindeutigkeitsaussage.
c) Man zeige: 1)In R gibt es genau dann immer kleinste gemeinsame Vielfache, wenn es immer größte gemeinsame Teiler gibt.Hall
2) In welcher Beziehung stehen kgV und ggT zueinander? |
Hallo,
Zu a) 1) so wie ich das verstehe, ist zu zeigen, dass p teilt a nicht äquivalent zu 1 [mm] \in [/mm] ggT(a,p) ist.
Hab das mit der Definition a|b <=> es gibt ein c [mm] \in [/mm] R mit ac=b
und 1 [mm] \in [/mm] ggT(a,p) <=> 1|p und 1|a und c|1 f.a. c [mm] \in [/mm] ggT(a,b)
Ist 1 der einzige ggT?
Wie zeigt man die Aufgabe jetzt?
Zua)2) das gleiche Problem...weiß die Defintion nicht anzuwenden...
Geht das vll einfacher über Ideale?
Zu b) M [mm] \subseteq [/mm] R
kgV(M) = min {k; m|k f.a. m [mm] \in [/mm] M } Ist das die Definition? Was ist mit der Eindueitgkeit? Durch das min ist das doch gegeben oder?
Zu c) 1) z.zg. : es gibt ggT <=> es gibt kgV
Kann man da direkt mit der Defintion des kgV argumentieren? Dass ein kgV ja quasi ein ggT impliziert?
zu 2) gilt: ab= ggT(a,b) kgv(a,b) ? Lässt sich cdas beweisen?
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Di 04.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Zu a) 1) so wie ich das verstehe, ist zu zeigen, dass p
> teilt a nicht äquivalent zu 1 [mm]\in[/mm] ggT(a,p) ist.
Bitte was? Es soll halt eines gelten ...
> Hab das mit der Definition a|b <=> es gibt ein c [mm]\in[/mm] R mit
> ac=b
> und 1 [mm]\in[/mm] ggT(a,p) <=> 1|p und 1|a und c|1 f.a. c [mm]\in[/mm]
> ggT(a,b)
> Ist 1 der einzige ggT?
Was soll das [m]\in[/m] denn oben heissen? Wie habt ihr ggT genau definiert? Man kann mal rangehen mit: sei c ein ggT. Dann gilt [m]c*b=p[/m]. Falls [m]p|c[/m] gilt [m]p|a[/m], ansosnten gilt [m]p|b[/m] und damit [m]p=b'*p*c[/m], also c eine Einheit.
> Zua)2) das gleiche Problem...weiß die Defintion nicht
> anzuwenden...
> Geht das vll einfacher über Ideale?
Was denkst du dir denn? Wende auf p, q die 1) an!
> Zu b) M [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R
> kgV(M) = min {k; m|k f.a. m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M } Ist das die
> Definition? Was ist mit der Eindueitgkeit? Durch das min
> ist das doch gegeben oder?
Was soll min denn hier bedeuten? Eindeutigkeit ist sicher nur bis auf Assoziiertheit zu erriechen.
> Kann man da direkt mit der Defintion des kgV argumentieren?
> Dass ein kgV ja quasi ein ggT impliziert?
Würde ich über die Formel unten machen:
> zu 2) gilt: ab= ggT(a,b) kgv(a,b) ? Lässt sich cdas
> beweisen?
Wenn die eindeutig sind. Wenn nicht, sehe ich das nicht ad hoc.
SEcki
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