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Taylorreihen im Mehrdimension: aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Mi 13.04.2005
Autor: crowmat

Ich soll näherungsweise [mm] 1.02^{1.04} [/mm] berechnen und dazu die Tayloerformel mit n=2 ( 2.Grades) von [mm] f(x,y)=x^{y} [/mm] an der stelle (1,1) bilden!

Daran hab ich mich dann auch mal versucht,mache aber irgendwo einen fehler!

Um die Taylorreihe aufzustellen brauch ich ja die erste und zweite ableitung !


Meine erste ableitung lautet  [mm] \pmat{ yx^{y-1}, y^{x}* lnx) } [/mm]
bei der zweiten hab ich folgendes raus:
[mm] \pmat{ y²-yx^{y-2} & x^{y-1}*(1+y*lnx) \\ x^{y-1}*(1+y*lnx) & x^{y}*ln²x } [/mm]

wenn ich dann den punkt (1,1) einsetze komme ich auf
f(x,y)=1+x+xy
und das kommt mir irgendwie nicht richtig vor, nur wo liegt mein fehler?
        
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Taylorreihen im Mehrdimension: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 15:19 Mi 13.04.2005
Autor: MathePower

Hallo,

die Taylorentwicklung sieht wie folgt aus:

[mm] f\left( {x,\;y} \right)\; \approx \;1\; + \;\left( {x\; - \;1} \right)\; + \;\left( {x\; - \;1} \right)\;\left( {y\; - \;1} \right)[/mm]

Ausmultipliziert ergibt das:

[mm]f\left( {x,\;y} \right)\; \approx \;1\; + \;x\; - \;x\;y[/mm]

Gruß
MathePower

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Taylorreihen im Mehrdimension: à propos: Vorzeichen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:35 Do 14.04.2005
Autor: Peter_Pein


> Hallo,
>  
> die Taylorentwicklung sieht wie folgt aus:
>  
> [mm] f\left( {x,\;y} \right)\; \approx \;1\; + \;\left( {x\; - \;1} \right)\; + \;\left( {x\; - \;1} \right)\;\left( {y\; - \;1} \right)[/mm]
>  

[ok]
> Ausmultipliziert ergibt das:
>  
> [mm]f\left( {x,\;y} \right)\; \approx \;1\; + \;x\; - \;x\;y[/mm]
>  

[notok]
[mm]f\left( {x,\;y} \right)\; \approx \;1\; - \;y\; + \;x\;y[/mm]
> Gruß
>  MathePower

Gruß zurück,
  Peter
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Taylorreihen im Mehrdimension: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Fr 15.04.2005
Autor: crowmat

also ehrlich gesagt versteh ich nicht wie ihr darauf kommt! Woher kommen den die minuszeichen?

Mir ist mittlerweile aufgefallen das ich falsch ableitetet habe und zwar muß wenn ich zum zweiten mal nach y ableite
[mm] x^{y}* [/mm] (ln x+ {1}/{x}
da stehn! KOmme aber trotzdem nicht auf euer ergebnis!
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Taylorreihen im Mehrdimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Fr 15.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Du hast dich ja ein paar mal verschrieben im ersten Beitrag. Das weißt du, oder? (Es sind nur Flüchtigkeitsfehler... und du rechnest dann richtig weiter... :-))

Die zweiten Ableitungen im ersten Beitrag sind (bis auf eine Klammerung im Element ganz links oben) richtig. :-)

Ich komme auch auf Peter's Ergebnis!

Es gilt:

$f(x,y) [mm] \approx [/mm] f(1,1) + (x-1) [mm] \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) [/mm] + (y-1) [mm] \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \pmat{ x-1 & y-1} \pmat{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(1,1) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} (1,1) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(1,1)} \pmat{ x-1\\ y-1}$ [/mm]

$= 1 + (x-1) [mm] \cdot [/mm] 1 + (y-1) [mm] \cdot [/mm] 0 + [mm] \frac{1}{2} \cdot \pmat{x-1 & y-1} \cdot \pmat{0 & 1 \\ 1 & 0} \cdot \pmat{x-1 \\ y-1}$ [/mm]

$= 1 + (x-1) + (x-1)(y-1)$

$= 1-y+xy$.

Viele Grüße
Julius
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Taylorreihen im Mehrdimension: nochmal ne rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 Fr 15.04.2005
Autor: joy04

An mir muß da absolut was vorbeigegangen sein!Warum rechnet man plötzlich mit (x-1   y-1)? Ich hab gedacht man nimmt den Vektor (x  y)!
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Taylorreihen im Mehrdimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Fr 15.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Wieso? Ich dachte die Taylorreihe sollte an der Stelle [mm] $(x_0,y_0)=(1,1)$ [/mm] gebildet werden, oder habe ich mich da verlesen? Ich schaue gleich mal nach...

Viele Grüße
Julius
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Taylorreihen im Mehrdimension: verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:24 Fr 15.04.2005
Autor: joy04

achso damit hat das was zu tun! heißt das ich muß grundsätzlich 1 abziehn wenn ich an der stelle (1,1) entwickel? das wußt ich ja gar nicht! ist das im eindimensionalen auch so?
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Taylorreihen im Mehrdimension: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Fr 15.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Ja.

Dort lautet die die Taylorreihe um [mm] $x_0$: [/mm]

[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(x_0) \cdot \frac{(x-x_0)^n}{n!}$. [/mm]

Viele Grüße
Julius
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