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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
| Aufgabe | Zu bestimmen die Taylorreihen folgender Funktionen um die Stelle a=0.
a) [mm] (arctanx)^2
[/mm]
b) [mm] (1+x^2)^{-1/2}
[/mm]
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Hallo,
ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich da anfangen soll. Kann mir bitte bitte jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Zu bestimmen die Taylorreihen folgender Funktionen um die
> Stelle a=0.
>
> a) [mm](arctanx)^2[/mm]
> b) [mm](1+x^2)^{-1/2}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich habe leider gar keine Ahnung, wie ich da anfangen soll.
> Kann mir bitte bitte jemand helfen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Hinter "keine Ahnung" können sich sehr verschiedene probleme verbergen, und wissen können wir sie nur, wenn du sie mitteilst.
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch,insbesondere den Passus über eigene Lösungsansätze, auf welche wir viel wert legen.
Man würde bei dieser Aufgabe damit beginnnen, daß man sich erstmal die Taylorreihe allgemein aufschreibt. Wie geht das denn?
Gibt es hier Bezeichnungen oder sonstwas, das Du nicht verstehst?
Falls bis dahin alles klar ist, kannst Du erstmal fleißig ableiten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Okay, bei a) habe ich leider das Problem, dass ich mir nicht sicher bin, wie die Ableitung heißen muss.
Wäre das f'(x)= 2 arctanx [mm] (1+x^2)^{-1}?
[/mm]
Bei b) habe ich die Ableitungen gemacht, ich kann aber leider keine Regelmäßigkeit erkennen.
Vielen Dank schon mal für die schnelle Antwort.
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> Okay, bei a) habe ich leider das Problem, dass ich mir
> nicht sicher bin, wie die Ableitung heißen muss.
> Wäre das f'(x)= 2 arctanx [mm](1+x^2)^{-1}?[/mm]
Hallo,
genau. Mit der Kettenregel.
Schreib es aber leiber andersrum, dann macht man nicht so leicht Fehler beim Weiterrechnen: [mm] 2(1+x^2)^{-1}arctanx.
[/mm]
>
> Bei b) habe ich die Ableitungen gemacht, ich kann aber
> leider keine Regelmäßigkeit erkennen.
Zeig' mal!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Hallo Angela,
Danke dir. Wäre dann die zweite Ableitung f''(x)= [mm] -1*(1+x^2)^{-3}?
[/mm]
Okay bei b) habe ich folgendes:
f'(x) = -1/2 [mm] (1+x^2)^{-3/2}*2x, [/mm] f'(0)=0
f''(x)= 3/4 [mm] (1+x^2)^{-5/2} *4x^2 [/mm] - [mm] 1/2*(1+x^2)^{-5/2}*4x, [/mm] f''(0)=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zimti!
> Danke dir. Wäre dann die zweite Ableitung f''(x)= [mm]-1*(1+x^2)^{-3}?[/mm]
Diese Ableitung stimmt nicht. Du hast auch bestimmt nicht die  Produktregel verwandt, oder?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Ich weiß nicht, was man da als u bzw v nehmen soll.
f'(x)= [mm] 2arctan(1+x^2)^{-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zimti!
Aufpassen beim Auf- bzw. Abschreiben ... die Ableitung lautet:
$$f'(x) \ = \ [mm] \underbrace{2*\arctan(x)}_{= \ u}*\underbrace{\left(1+x^2\right)^{-1}}_{= \ v}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
a) Ist f''(x) = [mm] 2*(1+x^2)^{-1}-4x*arctan(x)*(1+x^2)^{-2}
[/mm]
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Hallo
u=2*arctan(x)
[mm] u'=\bruch{2}{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] v=(1+x^{2})^{-1}
[/mm]
[mm] v'=-2x(1+x^{2})^{-2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{1+x^{2}}*(1+x^{2})^{-1}+2*arctan(x)*(-2x(1+x^{2})^{-2})
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(1+x^{2})^{2}}-\bruch{4*x*arctan(x)}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
du hattest im 1. Summanden einen Fehler im Exponenten,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Hey, dankeschön.
Kannst du mir vielleicht auch noch einen Tip für die dritte Ableitung geben?
Ich seh da leider nicht so eine richtige Regelmäßigkeit, um eine Taylorreihe zu entwickeln.
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Hallo Zimti,
> Hey, dankeschön.
>
> Kannst du mir vielleicht auch noch einen Tip für die dritte
> Ableitung geben?
>
> Ich seh da leider nicht so eine richtige Regelmäßigkeit, um
> eine Taylorreihe zu entwickeln.
>
Schreibe mal hier auf:
f(x)=
f'(x)=
f''(x)=
Vielleicht musst du die Terme noch ein wenig umformen, um die Regeln zu erkennen?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
[mm] f(x)=(arctanx)^2
[/mm]
f'(x)= [mm] 2arctan(x)*(1+x^2)^{-1}
[/mm]
[mm] f''(x)=2/(1+x^2)^{-2} [/mm] - [mm] 4xarctan(x)/(1+x^2)^{-2}
[/mm]
Sorry, aber ich habe da wirklich gar keine Idee für die n-te Ableitung. Wie würdest du es denn umformen?
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Hallo Zimti,
> [mm]f(x)=(arctanx)^2[/mm]
>
> f'(x)= [mm]2arctan(x)*(1+x^2)^{-1}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=2/(1+x^2)^{-2}[/mm] - [mm]4xarctan(x)/(1+x^2)^{-2}[/mm]
>
> Sorry, aber ich habe da wirklich gar keine Idee für die
> n-te Ableitung. Wie würdest du es denn umformen?
Ich würde die Brüche auch so schreiben:
[mm] f(x)=(\arctan(x))^2
[/mm]
[mm] f'(x)=2*\bruch{\arctan(x)}{(1+x^2)^1}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(1+x^2)^{2}}-\bruch{4x*\arctan(x)}{(1+x^2)^{2}}
[/mm]
Dann werden die Potenzen im Nenner schon mal sichtbarer.
Außerdem sollst du das Ganze an der Stelle a=0 entwickeln...
Also f(0)=
f'(0)=
f''(0)=
Probier mal die 3.Ableitung.
Hast du hier nachgelesen?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Also bei der dritten Ableitung habe ich ein Problem mit dem 2.Faktor. Habe es mit der Quotientenregel probiert, aber komme da nicht richtig weiter.
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Hallo Zimti,
> Also bei der dritten Ableitung habe ich ein Problem mit dem
> 2.Faktor. Habe es mit der Quotientenregel probiert, aber
> komme da nicht richtig weiter.
Quotienten- und Produktregel anwenden!
Rechne hier mal vor, damit wir dir besser helfen können.
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:33 Di 13.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Also ich habe folgendes probiert:
f'''(x)= [mm] \bruch{-8x}{(1+x^2)^3} [/mm] - [mm] \bruch{4arctanx+4x-16x^2arctanx}{1+x^2}
[/mm]
Aber jetzt sehe ich überhaupt kein System mehr.
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Hallo Zimti,
> Also ich habe folgendes probiert:
>
> f'''(x)= [mm]\bruch{-8x}{(1+x^2)^3}[/mm] -
> [mm]\bruch{4arctanx+4x-16x^2arctanx}{1+x^2}[/mm]
>
> Aber jetzt sehe ich überhaupt kein System mehr.
mein Ergebnis sieht aber anders aus:
[mm] f'''(x)=\bruch{4((3x^2-1)\arctan(x)-3x)}{(x^2+1)^3}
[/mm]
da musst du dich zwischendurch verrechnet haben, schon weil die Potenzen im Nenner fehlen.
Aber du hast recht, eine Systematik kann ich da auch nicht erkennen.
$ [mm] f(x)=(\arctan(x))^2 [/mm] $
$ [mm] f'(x)=2\cdot{}\bruch{\arctan(x)}{(1+x^2)^1} [/mm] $
$ [mm] f''(x)=\bruch{2}{(1+x^2)^{2}}-\bruch{4x\cdot{}\arctan(x)}{(1+x^2)^{2}} [/mm] $
Die Potenzen im Nenner gehen mit jedem Schritt um 1 in die Höhe...
Aber war da nicht noch etwas mit [mm] f^{(n)}(0)=... [/mm] ??
also:
f''(0)=2
f'''(0)=0
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Hey Loddar,
Okay, also dann ist:
f'(x)= [mm] -x*(1+x^2)^{-3/2}
[/mm]
Habe dann für f''(x)= [mm] -(1+x^2)^{-3/2}+3x^2(1+x^2)^{-5/2} [/mm]
Ist das okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zimti!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:17 Mo 12.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Ich bekomme dann für
f'''(x)=9x [mm] (1+x^2)^{-5/2} [/mm] - [mm] 15x^3(1+x^2)^{-7/2}
[/mm]
Aber um die Taylorreihe zu bilden, muss ich doch die n-te Ableitung finden, oder?
Ich sehe hier allerdings leider kein System.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Skizze einer Lösung für a)
(arctan(x))' = [mm] 1/(1+x^2) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n}
[/mm]
Dann : arctan(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}
[/mm]
Berechne jetzt [mm] (arctan(x))^2 [/mm] mit Hilfe des Cauchyproduktes
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:35 Di 13.01.2009 | | Autor: | Zimti |
Sorry, aber das mit dem Cauchyprodukt ist mir nicht so ganz klar.
Am Ende muss doch dann
[mm] x^2*\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1}\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{2k+1}*x^{2k} [/mm]
rauskommen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 15.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Fasse die 1. Ableitung doch erst zusammen zu:
