Taylorreihe mit Restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme für die folgende Funktion die Taylorreihe mit Restglied [mm] R_{4}:
[/mm]
[mm] f(x)=e^{2x} [/mm] |
Nun, als erstes bilde ich das Taylorpolynom (ich bin mir nicht ganz sicher ob ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, aber ich setze [mm] x_{0}=0 [/mm] ):
[mm] e^{2x}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k}x^{k}}{k!}+R_{n+1}(x)
[/mm]
Für das Restglied haben wir folgende Definition:
[mm] R_{n+1}(x)=\bruch{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}
[/mm]
Wie schaut da jetzt das Glied [mm] R_{4} [/mm] aus, und habe ich sonst alles richtig gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Mo 18.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
4=n+1 n=4 dein [mm] x_0 [/mm] ist ja 0, denn darum hast du entwickelt.
ob du die fertige formel für [mm] e^x [/mm] verwenden durftest, oder die ersten 3 Ableitungen bestimmen und daraus die TR heleiten solltest kann ich nicht beurteilen.
Wenn die Taylorreihe bis [mm] \infty [/mm] geht, gibts kein Restglied mehr. also sollst du sie wohl nur bis n=3 hinschreiben und dann [mm] R_4 [/mm] dazu, einfach die 4 te Ableitung von [mm] e^{2x} [/mm] an der stelle z mit [mm] 0\lez\lex [/mm] eeinsetzen.
Gruss leduart
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Danke für deine Antwort, also schaut das Endergebnis so aus:
[mm] 1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}+R_{4}(x)
[/mm]
[mm] R_{4}(x)= \bruch{2}{3}x^{4}
[/mm]
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> Danke für deine Antwort, also schaut das Endergebnis so
> aus:
>
> [mm]1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}+R_{4}(x)[/mm]
>
> [mm]R_{4}(x)= \bruch{2}{3}x^{4}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Guten Tag,
Die übliche Bezeichnung ist so, dass
[mm] R_{n}(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
[/mm]
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln
[mm] R_4 [/mm] wäre also das Restglied, welches das Taylorpolynom
4. Grades ergänzt: [mm] f(x)=T_4(x)+R_4(x)
[/mm]
Die Formel, die du angegeben hast, basiert aber womöglich
auf einer etwas anderen Definition, nämlich [mm] f(x)=T_3(x)+R_4(x) [/mm] (??)
Einerlei, ob das nun so oder so definiert wird, kann man
aber das [mm] \xi [/mm] (oder in deiner Formel das z) nicht einfach
durch x oder [mm] x_0 [/mm] ersetzen, wie du es anscheinend ge-
macht hast, sondern diese Hilfsvariable bleibt einfach
mal so stehen und steht für einen (im Allgemeinen nicht
genau bekannten) Wert, der zwischen dem Entwicklungs-
punkt (in unserem Falle 0) und dem aktuellen x liegt.
LG Al-Chw.
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Ja stimmt, ich habe z=0 gesetzt, dass war anscheinend falsch. Also wenn ich z bzw. [mm] \xi [/mm] einfach so stehen lasse, und dass Taylorpolynom 4.Grades bilde, kommt am Ende folgendes heraus:
[mm] 1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}+\bruch{2}{3}x^{4}+R_{4}
[/mm]
mit [mm] R_{4}= \bruch{2}{3}e^{2\xi}x^{4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 19.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja stimmt, ich habe z=0 gesetzt, dass war anscheinend
> falsch. Also wenn ich z bzw. [mm]\xi[/mm] einfach so stehen lasse,
> und dass Taylorpolynom 4.Grades bilde, kommt am Ende
> folgendes heraus:
>
> [mm]1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}+\bruch{2}{3}x^{4}+R_{4}[/mm]
>
> mit [mm]R_{4}= \bruch{2}{3}e^{2\xi}x^{4}[/mm]
So stimmts
FRED
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> > Ja stimmt, ich habe z=0 gesetzt, dass war anscheinend
> > falsch. Also wenn ich z bzw. [mm]\xi[/mm] einfach so stehen lasse,
> > und dass Taylorpolynom 4.Grades bilde, kommt am Ende
> > folgendes heraus:
> >
> > [mm]1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}+\bruch{2}{3}x^{4}+R_{4}[/mm]
> >
> > mit [mm]R_{4}= \bruch{2}{3}e^{2\xi}x^{4}[/mm]
>
> So stimmts
>
> FRED
Leider stimmt's so doch nicht ganz. Wenn man bei der
(nicht konventionellen) Schreibweise mit [mm] f(x)=T_n(x)+R_{\red{n+1}}(x)
[/mm]
bleiben will, hätten wir im vorliegenden Fall
$\ [mm] e^{2\,x}\ [/mm] =\ [mm] T_3(x)+R_4(x)\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{1+2x+2x^{2}+\bruch{4x^{3}}{3}}_{T_3(x)}+\underbrace{\bruch{2}{3}\,e^{2\xi}x^{4}}_{R_4(x)}$
[/mm]
Bei der üblichen Notation würde dieses Restglied (als
Ergänzung des Taylorpolynoms 3. Grades) nicht mit
[mm] R_4 [/mm] , sondern mit [mm] R_3 [/mm] bezeichnet.
LG Al-Chw.
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