Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an, wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
[mm] f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4} [/mm] |
Also ich soll folgendes bestimmen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k
[/mm]
Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k
[/mm]
Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee von der Ableitung zu bekommen.
[mm] f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}
[/mm]
[mm] f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)^3}
[/mm]
[mm] f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)^3}+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}
[/mm]
Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm] \forall k\in\IN
[/mm]
Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k
[/mm]
oder ?
Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
Dann würde die Reihe natürlich für alle [mm] x\in\IR\backslash\{-1,1\}.
[/mm]
Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find den weg irgendwie nicht :/
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Hallo Frosch20,
> Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
>
> [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> Also ich soll folgendes bestimmen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
>
> Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
>
> Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
>
> Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> von der Ableitung zu bekommen.
>
> [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
>
> [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)^3}[/mm]
>
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)^3}+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
>
> Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
>
> Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
>
> oder ?
>
Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine geometrische Reihe.
> Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
>
> Dann würde die Reihe natürlich für alle
> [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
>
> Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> den weg irgendwie nicht :/
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo Frosch20,
>
> > Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> > Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> > wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
> >
> > [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
> >
>
> > Also ich soll folgendes bestimmen:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> >
> > Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
> >
> > Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
> >
> > Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> > von der Ableitung zu bekommen.
> >
> > [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
> >
> > [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)}^3[/mm]
> >
> >
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)}^3+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
> >
> > Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
> >
> > Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
> >
> > oder ?
> >
>
>
> Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
Okay :S
[mm] f^{4}=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)}^3+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^12}{(1-x^4)^5}
[/mm]
>
> Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine
> geometrische Reihe.
Mh du meinst soetwas wie:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4k*x^{3k}}{(1-x^4)^(k+1)} [/mm] <- wobei der term, die ableitungen darstellen sollte. Das krieg ich nicht ganz so hin, sondern nur den ersten term sozusagen :|
>
>
> > Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
> >
> > Dann würde die Reihe natürlich für alle
> > [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
> >
> > Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> > den weg irgendwie nicht :/
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Frosch20,
> > Hallo Frosch20,
> >
> > > Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> > > Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> > > wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
> > >
> > > [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> > >
> >
> > > Also ich soll folgendes bestimmen:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > >
> > > Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
> > >
> > > Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
> > >
> > > Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> > > von der Ableitung zu bekommen.
> > >
> > > [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
> > >
> > > [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)}^3[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)}^3+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
> > >
> > > Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
> > >
> > > Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
> > >
> > > oder ?
> > >
> >
> >
> > Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
>
> Okay :S
>
> [mm]f^{4}=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)}^3+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^12}{(1-x^4)^5}[/mm]
>
[mm]f^{4}\left(x\right)=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)^3}+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^{12}}{(1-x^4)^5}[/mm]
> >
> > Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine
> > geometrische Reihe.
>
> Mh du meinst soetwas wie:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4k*x^(3k)}{(1-x^4)^(k+1)}[/mm] <-
> wobei der term, die ableitungen darstellen sollte. Das
> krieg ich nicht ganz so hin, sondern nur den ersten term
> sozusagen :|
>
Es ist doch:
[mm]\bruch{1}{1-x^{4}}=\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}=1+x^{4}+ \ ... [/mm]
> >
> >
> > > Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
> > >
> > > Dann würde die Reihe natürlich für alle
> > > [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
> > >
> > > Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> > > den weg irgendwie nicht :/
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo Frosch20,
>
> > > Hallo Frosch20,
> > >
> > > > Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> > > > Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> > > > wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
> > > >
> > > > [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> >
> > > >
> > >
> > > > Also ich soll folgendes bestimmen:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > > >
> > > > Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
> > > >
> > > > Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
> > > >
> > > > Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> > > > von der Ableitung zu bekommen.
> > > >
> > > > [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
> > > >
> > > > [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)}^3[/mm]
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)}^3+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
> > > >
> > > > Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
> > > >
> > > > Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
> > > >
> > > > oder ?
> > > >
> > >
> > >
> > > Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
> >
> > Okay :S
> >
> >
> [mm]f^{4}=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)}^3+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^12}{(1-x^4)^5}[/mm]
> >
>
>
> [mm]f^{4}\left(x\right)=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)^3}+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^{12}}{(1-x^4)^5}[/mm]
>
>
> > >
> > > Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine
> > > geometrische Reihe.
> >
> > Mh du meinst soetwas wie:
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4k*x^(3k)}{(1-x^4)^(k+1)}[/mm] <-
> > wobei der term, die ableitungen darstellen sollte. Das
> > krieg ich nicht ganz so hin, sondern nur den ersten term
> > sozusagen :|
> >
>
>
> Es ist doch:
>
> [mm]\bruch{1}{1-x^{4}}=\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}=1+x^{4}+ \ ...[/mm]
Ah natürlich, aber das gilt nur für [mm] |x|^4<1.
[/mm]
Und meinen entwicklungspunkt müsste ich doch auch noch ins spiel bringen.
>
>
> > >
> > >
> > > > Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
> > > >
> > > > Dann würde die Reihe natürlich für alle
> > > > [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
> > > >
> > > > Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> > > > den weg irgendwie nicht :/
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Frosch20,
> > Hallo Frosch20,
> >
> > > > Hallo Frosch20,
> > > >
> > > > > Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> > > > > Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> > > > > wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
> > > > >
> > > > > [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > > >
> > > >
> > > > > Also ich soll folgendes bestimmen:
> > > > >
> > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > > > >
> > > > > Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
> > > > >
> > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
> > > > >
> > > > > Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
> > > > >
> > > > > Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> > > > > von der Ableitung zu bekommen.
> > > > >
> > > > > [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)}^3[/mm]
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)}^3+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
> > > > >
> > > > > Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
> > > >
> >
> > > > > Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
> > > > >
> > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
> > > > >
> > > > > oder ?
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> > > >
> > > > Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
> > >
> > > Okay :S
> > >
> > >
> >
> [mm]f^{4}=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)}^3+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^12}{(1-x^4)^5}[/mm]
> > >
> >
> >
> >
> [mm]f^{4}\left(x\right)=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)^3}+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^{12}}{(1-x^4)^5}[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > > Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine
> > > > geometrische Reihe.
> > >
> > > Mh du meinst soetwas wie:
> > >
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4k*x^(3k)}{(1-x^4)^(k+1)}[/mm] <-
> > > wobei der term, die ableitungen darstellen sollte. Das
> > > krieg ich nicht ganz so hin, sondern nur den ersten term
> > > sozusagen :|
> > >
> >
> >
> > Es ist doch:
> >
> > [mm]\bruch{1}{1-x^{4}}=\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}=1+x^{4}+ \ ...[/mm]
>
> Ah natürlich, aber das gilt nur für [mm]|x|^4<1.[/mm]
> Und meinen entwicklungspunkt müsste ich doch auch noch
> ins spiel bringen.
Ja.
> >
> >
> > > >
> > > >
> > > > > Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
> > > > >
> > > > > Dann würde die Reihe natürlich für alle
> > > > > [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
> > > > >
> > > > > Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> > > > > den weg irgendwie nicht :/
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Gruss
> > > > MathePower
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Hallo Frosch20,
>
> > > Hallo Frosch20,
> > >
> > > > > Hallo Frosch20,
> > > > >
> > > > > > Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> > > > > > Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> > > > > > wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
> > > > > >
> > > > > > [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > > > > Also ich soll folgendes bestimmen:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
> > > > > >
> > > > > > Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> > > > > > von der Ableitung zu bekommen.
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]f^{2}=\bruch{12x^2}{(1-x^4)²}+\bruch{36x^6}{(1-x^4)}^3[/mm]
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f^{3}=\bruch{24x}{(1-x^4)²}+\bruch{288x^5}{(1-x^4)}^3+\bruch{348x^9}{(1-x^4)^4}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Für x=a=0, wäre f^(k)=0 [mm]\forall k\in\IN[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > > > Die Taylorreihe lautet dann doch nicht:
> > > > > >
> > > > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{0}{k!}*x^k[/mm]
> > > > > >
> > > > > > oder ?
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Da musst Du mindestens noch ein 4.mal Ableiten.
> > > >
> > > > Okay :S
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f^{4}=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)}^3+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^12}{(1-x^4)^5}[/mm]
> > > >
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]f^{4}\left(x\right)=\bruch{24}{(1-x^4)^2}+\bruch{1632x^4}{(1-x^4)^3}+\bruch{6912x^8}{(1-x^4)^4}+\bruch{6144x^{12}}{(1-x^4)^5}[/mm]
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > Oder Du entwickelst den gegebenen Ausdruck in eine
> > > > > geometrische Reihe.
> > > >
> > > > Mh du meinst soetwas wie:
> > > >
> > > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4k*x^(3k)}{(1-x^4)^(k+1)}[/mm] <-
> > > > wobei der term, die ableitungen darstellen sollte. Das
> > > > krieg ich nicht ganz so hin, sondern nur den ersten term
> > > > sozusagen :|
> > > >
> > >
> > >
> > > Es ist doch:
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{1-x^{4}}=\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}=1+x^{4}+ \ ...[/mm]
>
> >
> > Ah natürlich, aber das gilt nur für [mm]|x|^4<1.[/mm]
> > Und meinen entwicklungspunkt müsste ich doch auch noch
> > ins spiel bringen.
>
>
> Ja.
Also wenn ich das jetzt richtig sehe, ist meine Taylorreihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}
[/mm]
Diese Reihe hat ja den Enwicklungspunkt [mm] x_0=0. [/mm]
Die Reihe konvergiert also für [mm] |x|^4<1. [/mm]
Reicht das nun aus ? Die Reihe gilt ja nicht für [mm] |x|^4 \ge [/mm] 1.
Warum darf ich die Funktion, in dieser form umschreiben wenn es nicht für alle x gilt ?
>
>
> > >
> > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > Also irgendwie kommt mir das ganze nicht geheuer vor.
> > > > > >
> > > > > > Dann würde die Reihe natürlich für alle
> > > > > > [mm]x\in\IR\backslash\{-1,1\}.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Kann mich jemand zurück auf die Straße führen, ich find
> > > > > > den weg irgendwie nicht :/
> > > > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > Gruss
> > > > > MathePower
> > > >
> > >
> > >
> > > Gruss
> > > MathePower
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Frosch20,
zitiere doch bitte mit etwas mehr Bedacht!
>
> Also wenn ich das jetzt richtig sehe, ist meine Taylorreihe
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left( \ x^{4} \ \right)^{k}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Diese Reihe hat ja den Enwicklungspunkt [mm]x_0=0.[/mm]
> Die Reihe konvergiert also für [mm]|x|^4<1.[/mm]
> Reicht das nun aus ? Die Reihe gilt ja nicht für [mm]|x|^4 \ge[/mm]
> 1.
Was heißt: "die Reihe gilt nicht"?
Die Reihe divergiert für $|x|>1$ und stellt dort nicht die Funktion $f$ dar.
>
> Warum darf ich die Funktion, in dieser form umschreiben wenn es nicht für alle x gilt ?
Was meinst du mit dieser Frage?
Wir haben doch nun: Für [mm] $x\in [/mm] (-1,1)$ konvergiert die Reihe gegen f, für $x>1$ und $x<-1$ nicht, [mm] $x=\pm [/mm] 1$ ist uns egal, dort ist f nicht definiert.
Die Reihe divergiert eh für [mm] $x=\pm [/mm] 1$. Klar, wieso?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
> Was heißt: "die Reihe gilt nicht"?
>
> Die Reihe divergiert für [mm]|x|>1[/mm] und stellt dort nicht die
> Funktion [mm]f[/mm] dar.
> >
Genau das meinte ich. Die Reihe stellt für |x|>1 nicht die Funktion dar. Aufgabe war es aber eine Taylorreihe zur gegebenen funktion zu bestimmen. Das habe ich nun ja nur für |x|<1.
Müsste ich dann nicht noch eine Taylorreihe aufstellen, welche die funktion für |x|>1 beschreibt ?
Ich dachte einfach, dass meine Taylorreihe die ganze funktion f darstellen soll, also für alle x-werte.
> Wir haben doch nun: Für [mm]x\in (-1,1)[/mm] konvergiert die Reihe
> gegen f, für [mm]x>1[/mm] und [mm]x<-1[/mm] nicht, [mm]x=\pm 1[/mm] ist uns egal,
> dort ist f nicht definiert.
>
> Die Reihe divergiert eh für [mm]x=\pm 1[/mm]. Klar, wieso?
Ich denke schon. Ein notwendiges Kriterium für die konvergenz ist es, dass die Folge "in unserem fall [mm] (x^4)^k" [/mm] eine Nullfolge ist.
Für x=1, würden wir aber einfach nur immer 1 aufaddieren. Dies wäre keine 0-folge, würde also das notwendige kriterium nicht erfüllen. Es ist auch irgendwie klar, denn der Term wird ja immer größer.
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 15.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
aufgabe war es f in eine TR um ß zu entwicckeln NICHT eine Reihe anzugeben, die f auf dem gesamten Def.Bereich von f darstellt. du sollst gerade sehen, dass die TR u.A. nur in einem gewissen Intervall f darstellt, nämlich da, wo sie konvergiertes gibt TR die nirgends ausser im Entwicklungspkt die fkt darstellen!
Deshalb war ja auch nach dem Bereich gefragt, indem die Reihe die fkt darstellt!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:09 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Frosch20 |
Ah vielen dank.
Ich denke nun hab ich es verstanden :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 13.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Frosch-Twenty,
> Bestimmen Sie die Talylor-Reihe von f um den
> Entwicklungspunkt 0. Geben Sie jeweils mit Begründung an,
> wo diese Taylor-Reihe gegen f konvergiert und wo nicht.
>
> [mm]f:\IR\backslash\{-1,1\} \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x^4}[/mm]
>
> Also ich soll folgendes bestimmen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(a)}{k!}(x-a)^k[/mm]
schreibe den "Exponent" bei den Ableitungen so: [mm] $f^{(k)}$ [/mm] (Code: $f^{(k)}$)
> Da der entwicklungspunkt 0 ist, ergibt sich also:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{f^(k)(0)}{k!}*x^k[/mm]
>
> Also benötige ich die k-te Ableitung, an der Stelle a=0.
>
> Zunähst hab ich die Funktion 3mal abgeleitet um ein idee
> von der Ableitung zu bekommen.
>
> [mm]f^{1}=\bruch{4x^3}{(1-x^4)²}[/mm]
Das sind nur "kleine" Formalitäten, vielleicht auch, weil Du mit dem
Formeleditor ein wenig schreibfaul bist - oder nicht drauf geachtet hast,
aber schreibe das (und auch bei den anderen Ableitungen) so:
[mm] $f^{\red{(}1\red{)}}\red{(x)}=\ldots$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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