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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Di 06.11.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Sei [mm] $[-1,\infty]\to\IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(x)=x*\sqrt{x+1}$.
[/mm]
Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades um [mm] $x_0=0$. [/mm] |
Hallo,
habe ein Problem beim zusammenfassen der 3. Ableitung.
[mm] $f'(x)=(x+1)^{0.5}+x*0.5*(x+1)^{-0.5}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$
[/mm]
[mm] $f''(x)=\frac{6\sqrt{x+1}-(3x+2)(x+1)^{-0.5}}{4(x+1)}=\frac{6\sqrt{x+1}-\frac{3x+2}{\sqrt{x+1}}}{4(x+1)}=\frac{6(x+1)-(3x+2)}{\sqrt{x+1}}*\frac{1}{4(x+1)}=\frac{3x+4}{4(x+1)^{\frac{3}{2}}}$
[/mm]
[mm] $f'''(x)=\frac{12(x+1)^{\frac{3}{2}}-(3x+4)*6(x+1)^{\frac{1}{2}}}{16(x+1)^3}=......=-\frac{3(x+2)}{8(x+1)^{\frac{5}{2}}}$
[/mm]
Hier komme ich gerade nicht weiter. Habe ein paar verschiedene Umformungen versucht, aber ich bekomme es irgendwie nicht zusammengefasst.
Schonmal danke für Tipps.
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Hallo Trolli,
> Sei [mm][-1,\infty]\to\IR[/mm] gegeben durch [mm]f(x)=x*\sqrt{x+1}[/mm].
>
> Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades um [mm]x_0=0[/mm].
> Hallo,
>
> habe ein Problem beim zusammenfassen der 3. Ableitung.
>
> [mm]f'(x)=(x+1)^{0.5}+x*0.5*(x+1)^{-0.5}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\frac{6\sqrt{x+1}-(3x+2)(x+1)^{-0.5}}{4(x+1)}=\frac{6\sqrt{x+1}-\frac{3x+2}{\sqrt{x+1}}}{4(x+1)}=\frac{6(x+1)-(3x+2)}{\sqrt{x+1}}*\frac{1}{4(x+1)}=\frac{3x+4}{4(x+1)^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>
> [mm]f'''(x)=\frac{12(x+1)^{\frac{3}{2}}-(3x+4)*6(x+1)^{\frac{1}{2}}}{16(x+1)^3}=......=-\frac{3(x+2)}{8(x+1)^{\frac{5}{2}}}[/mm]
>
Klammere [mm]\wurzel{x+1}[/mm] aus.
> Hier komme ich gerade nicht weiter. Habe ein paar
> verschiedene Umformungen versucht, aber ich bekomme es
> irgendwie nicht zusammengefasst.
>
Dann poste doch, was Du bisher versucht hast.
> Schonmal danke für Tipps.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Di 06.11.2012 | | Autor: | Trolli |
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> Dann poste doch, was Du bisher versucht hast.
>
Sorry, hatte schon Mühe beim eingeben der Gleichungen und war froh als die drin waren ;)
Danke für den Tipp. Damit hat alles geklappt und ich komme auch auf die 4. Ableitung:
[mm] $f^{(4)}(x)=\frac{9x+24}{16(x+1)^{\frac{7}{2}}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=1, [mm] f'''(0)=-\frac{3}{4}, f^{4}(0)=\frac{3}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow T_{4,0}=x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^3+\frac{1}{16}x^4$
[/mm]
Alles korrekt?
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Hallo Trolli,
> >
> > Dann poste doch, was Du bisher versucht hast.
> >
>
> Sorry, hatte schon Mühe beim eingeben der Gleichungen und
> war froh als die drin waren ;)
>
> Danke für den Tipp. Damit hat alles geklappt und ich komme
> auch auf die 4. Ableitung:
>
> [mm]f^{(4)}(x)=\frac{9x+24}{16(x+1)^{\frac{7}{2}}}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=1, f'''(0)=-\frac{3}{4}, f^{4}(0)=\frac{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow T_{4,0}=x+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^3+\frac{1}{16}x^4[/mm]
>
> Alles korrekt?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 06.11.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die ersten drei Terme der Taylor-Entwicklung für die Umkehrfunktion. |
Ich habe noch eine Extra Aufgabe. Ist die Umkehrfunktion so korrekt?
[mm] $y=x*\sqrt{x+1}$
[/mm]
[mm] $y^2=x^2*(x+1)$
[/mm]
[mm] $y^2=x^3*x^2=x^5$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\wurzel[5]{y^2}$
[/mm]
Dann Ableitungen bestimmen und wieder Taylorpolynom...
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Hallo Trolli,
> Bestimmen Sie die ersten drei Terme der Taylor-Entwicklung
> für die Umkehrfunktion.
> Ich habe noch eine Extra Aufgabe. Ist die Umkehrfunktion
> so korrekt?
>
> [mm]y=x*\sqrt{x+1}[/mm]
> [mm]y^2=x^2*(x+1)[/mm]
> [mm]y^2=x^3*x^2=x^5[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]y^2=x^3\blue{+}x^2[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=\wurzel[5]{y^2}[/mm]
>
> Dann Ableitungen bestimmen und wieder Taylorpolynom...
Gruss
MathePower
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