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Taylorreihe: Korrektur/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mo 08.02.2010
Autor: Kubs3

Aufgabe
Taylorreihe für:
[mm] \integral_{0}^{1}{ln(2+x^2) dx} [/mm]

Hi,
würde Euch um die Korrektur der oberen Aufgabe bitten.
Habe die ersten 4 Ableitungen gebildet:
f(0)=ln2
fI(0)=0
fII(0)=1
fIII(0)=0
fIV(0)=-12

Und in die allg. Taylorreihe eingesetzt (ab k=1):

[mm] T4=x^2/2 [/mm] + [mm] x^4/2 [/mm]

Das Integral ergibt dann:

[mm] x^3/6-x^5/10 [/mm] + C

Stimmt das so?

Könnte man anstatt [mm] ln(2+x^2) [/mm] 4 mal abzuleiten, schneller ans Ziel kommen wenn man bekannte Taylorreihen (zB für ln(1+x)) bemühen würde? Wenn ja wie?

Vielen Dank!

mfg
Jakob

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:55 Mo 08.02.2010
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

hast du die Aufgabe falsch angeschrieben?

Die von dir angegebene Funktion ist konstant, daher ist ihre Taylorreihe immer gleich ihrem konstanten Wert.

MFG,
Gono.
Bezug
        
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Mo 08.02.2010
Autor: Kubs3

Nicht dass ich weiß....

Außer es gehört richtig so angeschrieben:

[mm] f(x)=ln(2+x^2) \Rightarrow [/mm] Taylorreihe
und dann Gliedweises Integrieren....(bestimmtes Integral).

Denn genauen Wortlaut weiß ich nicht mehr.

mfg
Jakob
Bezug
                
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Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Mo 08.02.2010
Autor: Gonozal_IX

Moment, in deinem ersten Post steht, du sollst die Taylorreihe von:

$ [mm] \integral_{0}^{1}{ln(2+x^2) dx} [/mm] $

aufstellen.

Das ist was anderes als von der Funktion

[mm] $ln(2+x^2)$ [/mm]

Das sind zwei komplett verschiedene Funktionen.....

Also was sollst du nun machen?

MFG,
Gono.
Bezug
                        
Bezug
Taylorreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:21 Mo 08.02.2010
Autor: Kubs3

Wie gesagt bin ich mir nicht sicher, aber der Wortlaut müsste wenn wahr ca. so lauten:

Ermitteln Sie eine Potenzreihe für die Funktion [mm] f(x)=ln(2+x^2) [/mm] und daraus durch gliedweise Integration eine Reihe für das bestimmte Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm]

mfg
Jakob
Bezug
        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 08.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Jakob,

> Taylorreihe für:
>  [mm]\integral_{0}^{1}{ln(2+x^2) dx}[/mm]

Eher: Berechnen sie [mm] $\int\limits_{0}^1{\ln(2+x^2) \ dx}$ [/mm] (näherungsweise), indem sie die Taylorreihe bzw. das Taylorpolynom bis zur Ordnung 4 für [mm] $f(x)=\ln(2+x^2)$ [/mm] verwenden ...

>  
> Hi,
>  würde Euch um die Korrektur der oberen Aufgabe bitten.
>  Habe die ersten 4 Ableitungen gebildet:
>  f(0)=ln2 [ok]
>  fI(0)=0 [ok]
>  fII(0)=1 [ok]
>  fIII(0)=0 [ok]
>  fIV(0)=-12 [notok]

Da komme ich auf [mm] $f^{(4)}(0)=-3$ [/mm]

>  
> Und in die allg. Taylorreihe eingesetzt (ab k=1):

Wieso ab k=1?

>  
> [mm]T4=x^2/2[/mm] + [mm]x^4/2[/mm]

Hm, ich erhalte [mm] $\ln(2+x^2)\approx \ln(2)+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{8}x^4$ [/mm]

>  
> Das Integral ergibt dann:
>  
> [mm]x^3/6-x^5/10[/mm] + C
>  
> Stimmt das so?

Nicht ganz ...

>  
> Könnte man anstatt [mm]ln(2+x^2)[/mm] 4 mal abzuleiten, schneller
> ans Ziel kommen wenn man bekannte Taylorreihen (zB für
> ln(1+x)) bemühen würde? Wenn ja wie?

Vllt. indem du schreibst: [mm] $\ln(2+x^2)=\ln(1+(1+x^2))=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot{}(1+x^2)^k$ [/mm]

Beachte aber, dass dies nur für [mm] $-1<1+x^2\le [/mm] 1$ gilt ...

Also für [mm] $-2
Scheint also nicht zu klappen



>  
> Vielen Dank!
>  
> mfg
>  Jakob
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Taylorreihe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:48 Di 09.02.2010
Autor: Kubs3

Hi vielen Dank!
Ab k=1: Habe  nen Denkfehler gemacht. Habe nämlich die allg. Formel für ln(1+x) genommen aber nicht bedacht dass: ln1=0  [mm] ln2\not=0 [/mm]

Komme ich jetzt auch auf:
fIV(x)= -3
und somit:
[mm] T4=ln2+x^2/2-x^4/8 [/mm]
und beim Integral:
[mm] 2ln2-2+x^3/6-x^5/40+C [/mm]

Ja?
Danke schön!
mfg
Jakob
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Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 Di 09.02.2010
Autor: leduart

Hallo
wie kommst du auf die 2ln2-2?
für das unbestimmte Integral ist der Rest richtig, aber du sollst doch ein best. Integral ausrechnen, bzw annähern?
bruachst du kene Fehlerabschätzung?
Gruss leduart
Bezug
                                
Bezug
Taylorreihe: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Di 09.02.2010
Autor: Kubs3

Hi, stimmt. Bestimmtes Integral.

=........ +1/6 - 1/40

Bei ln2 habe ich keine Ahnung wie ich das bestimmte Integral angehen soll aufgrung des Fehlens einer Variable (lnx wäre kein Problem).

Bitte um einen Tip.

P.S.: Restglied war nicht gefragt.

mfg
Jakob
Bezug
                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:47 Di 09.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hi, stimmt. Bestimmtes Integral.
>  
> =........ +1/6 - 1/40

Was steht denn da? Wo sind die Variablen??

Schreibe doch mal vernünftig und verständlich auf. So kann doch kein Mensch verstehen, was du uns sagen willst.

Du schmeißt da Bröckchen hin ...

Echt [motz]

Es ist

[mm] $\int\limits_{0}^{1}{\left(\ln(2)+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}\right) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[\ln(2)\cdot{}x \ + \ \frac{x^3}{6} \ - \ \frac{x^5}{40}\right]_0^1 [/mm] \ = \ .....$

>  
> Bei ln2 habe ich keine Ahnung wie ich das bestimmte
> Integral angehen soll aufgrung des Fehlens einer Variable
> (lnx wäre kein Problem).

Wie integrierst du denn zB. 5 nach x, was ist also [mm] $\int{5 \ dx}$ [/mm] ??

>  
> Bitte um einen Tip.
>  
> P.S.: Restglied war nicht gefragt.
>  
> mfg
>  Jakob

Gruß

schachuzipus
Bezug
                                                
Bezug
Taylorreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Di 09.02.2010
Autor: Kubs3

[mm] \integral_{0}^{1}{ln2 dx}+1/2*\integral_{0}^{1}{x^2 dx}-1/8*\integral_{0}^{1}{x^4 dx}=(1*ln2-0*ln)+\bruch{1}{2}*(\bruch{1^3}{3}-\bruch{0^3}{3})-\bruch{1}{8}*(\bruch{1^5}{5}-\bruch{0^5}{5})=ln2+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{40}=ln2+\bruch{17}{120}=0,834814... [/mm]

Sorry,....
Bezug
                                                        
Bezug
Taylorreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Di 09.02.2010
Autor: fred97

jetzt stimmts

FRED
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