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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Do 01.05.2008 | | Autor: | Griesig |
| Aufgabe | | Bestimmen sie für [mm] z \in \IC [/mm] die Taylorentwicklung von [mm] f(z)=\bruch{1}{1+z^2}[/mm] in 0 und deren Konvergenzradius. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi.
Also wir hatten in der Vorlesung nur den Potenzreihenentwicklungssatz der ja sagt, dass es für holomorphe f immer eine Umgebung um [mm] z_{0} [/mm] gibt, so dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^n=f(z) [/mm] ist und dass für die Koeffizienten gilt:
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{|z-z_{0}|=r}{\bruch{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}} dz} [/mm]
Mein Problem ist jetzt, dass ich das integral nicht lösen kann! Kann mir bitte jemand einen Tip geben?
Meine Idee war zu sagen dass für [mm] |z|<1 [/mm] die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n}[/mm] nach Leibnitz absolut konvergiert und da es reell ja die geometrische Reihe wäre, dann eben gilt (Darf ich das einfach übertragen?):
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^{2n}=\bruch{1}{1-(-z^2)}=\bruch{1}{1+z^2} [/mm]
Wenn man das ganze dann für |z| = 1 ausprobiert divergiert die Reihe ja, und nach dem obigen Potenzreihenentwicklungssatz, ist der Konvergenzradius 1 (da für jeden größeren Radius, alles innerhalb des Radius konvergieren müsste, was wegen Radius = 1 aber nicht so ist.)
Kann man das auch so machen? Und ist das überhaupt richtig?
Viele Grüße
Griesig
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Deine Idee ist völlig richtig. Für |z|=1 gibt es keine Potenzreihenentwicklung um den Nullpunkt, weil auf dem Rand des Kreises mit r=1 der Wert i liegt, und bei z=i wird der Nenner 0.
Für |z|>1 gehst du so vor:
[mm] \bruch{1}{1+z^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{\bruch{1}{z^2}+1}= \bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{z^2}}.
[/mm]
Nun ist aber [mm] \vmat{\bruch{1}{z^2} }<1, [/mm] und du kannst hierauf wieder die Reihenentwicklung für die geometrische Reihe angeben:
[mm] \bruch{1}{z^2}*\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n(\bruch{1}{z})^{2n}=\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{z^2})}=\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{1+\bruch{1}{z^2}}=\bruch{1}{1+z^2}.
[/mm]
Diese Reihe konvergiert für |z|>1.
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