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| Aufgabe | | Sei [mm] P_{n}(x)= \summe_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} [/mm] ein reelles Polynom. Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung n-1 und n und das Lagrangesche Restglied von [mm] P_{n} [/mm] in [mm] x_{0}=0. [/mm] |
Wisst ihr wie man Taylorpolynome berechnet?
Wäre dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet ... danke :)
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> Sei [mm]P_{n}(x)= \summe_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}[/mm] ein reelles
> Polynom. Bestimmen Sie das Taylorpolynom der Ordnung n-1
> und n und das Lagrangesche Restglied von [mm]P_{n}[/mm] in [mm]x_{0}=0.[/mm]
> Wisst ihr wie man Taylorpolynome berechnet?
Hallo,
ja, ich weiß das.
Und wenn ich es gerade vergessen habe, schaue ich ![[]](/images/popup.gif) hier nach oder in meinem Analysis-Buch.
Gruß v. Angela
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Ja und wie berechne ich dann diese Taylorpolynom?
Diese Formeln stehen auch bei mir im Skript, jedoch kann ich damit wenig anfangen ... wir hatten dazu eben keine Beispiele gemacht ... :(
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> Ja und wie berechne ich dann diese Taylorpolynom?
>
> Diese Formeln stehen auch bei mir im Skript, jedoch kann
> ich damit wenig anfangen ...
Dann mußt Du genauer sagen, wo es hängt.
Was verstehst Du daran nicht, wo hast Du Zweifel, was Du einsetzen sollst.
Mit [mm] f^{(k)} [/mm] ist die k-te Ableitung der fraglichen Funktion gemeint,
in Deinem Fall also die Ableitung des Polynoms.
Der Entwicklungspunkt soll [mm] x_0=0 [/mm] sein, in der wikipedia heißt er a, wenn ich mich recht entsinne.
Gruß v. Angela
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Also dann schreibe ich mal soviel ich kann... :)
Taylorpolynom an der Stelle [mm] X_{0}=0:
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{f^{k}(0)}{k!}(x)^{k}
[/mm]
Man muss ja nur die Summe bis n-1 laufen lassen, da zuerst nach der Ordnung n-1 gefragt ist, oder?
Diese Summe könnte ich nun nch ausschreiben, jedoch wie berechne ich sie???
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> Taylorpolynom an der Stelle [mm]X_{0}=0:[/mm]
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> [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{f^{k}(0)}{k!}(x)^{k}[/mm]
>
> Man muss ja nur die Summe bis n-1 laufen lassen, da zuerst
> nach der Ordnung n-1 gefragt ist, oder?
Ja.
Nun ist ja in der Aufgabe nach dem Taylorpolynom von $ [mm] P_{n}(x)= \summe_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} [/mm] $ gefragt.
Du mußt also
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{P_n^{k}(0)}{k!}x^{k} [/mm] berechnen.
Dazu benötigst Du die k-ten Ableitungen von [mm] P_{n}(x).
[/mm]
Gruß v. Angela
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ja, aber egeben die nicht immer 0?
Denn wenn ich bei [mm] P_{n}(x)= \summe_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} [/mm] für x=0 einsetzte, in diesem Punkt soll ich ja das Taylorpolynm berechnen, dann kommt doch für alle i außer i=0 0 heraus.
Bei i=0 steht da gerade noch [mm] a_{0}
[/mm]
Kann das sein?
Heißt das das ich von [mm] a_{0} [/mm] das Taylorpolynom bilden muss?
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Hallo LittleStudi,
schreib doch mal die ersten 3 oder 4 Ableitungen von [mm] P_n(x) [/mm] auf, dann solltest du ein Schema erkennen können:
[mm] P_n'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+.....+na_nx^{n-1}
[/mm]
[mm] P_n''(x)=2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...+n(n-1)a_nx^{n-2}
[/mm]
[mm] P_n'''(x)=6a_3+24a_4x+....+n(n-1)(n-2)a_nx^{n-3}
[/mm]
[mm] \vdots{}
[/mm]
[mm] P_n^{k}(x)=k!a_k+(k+1)!a_{k+1}x+...+n(n-1)(n-2)\cdot{}...\cdot{}(n-k+1)a_nx^{n-k}
[/mm]
[mm] \Rightarrow P_n^{k}(0)=k!a_k
[/mm]
Stelle mal damit das TP [mm] T_{n-1}(x) [/mm] auf
Wie sieht dann das Restglied aus? [mm] R_{n-1}(x)=...
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Also:
[mm] T_{n-1}(x)= \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{k!a_{k}}{k!}*x^{k}
[/mm]
das ist ja aber [mm] \summe_{k=0}^{n-1} a_{k}*x^{k}
[/mm]
Hmmm.... aber das ist ja wieder das Anfangspolynom ??? Was habe ich falsch gemacht?
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> Also:
>
> [mm]T_{n-1}(x)= \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{k!a_{k}}{k!}*x^{k}[/mm]
>
> das ist ja aber [mm]\summe_{k=0}^{n-1} a_{k}*x^{k}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Hmmm.... aber das ist ja wieder das Anfangspolynom ???
Aber um einen Grad niedriger
> Was habe ich falsch gemacht?
nichts, alles richtig, nun nur noch das Restglied in Lagrangeform angeben und du hast es
Gruß
schachuzipus
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Und das Taylorpolynom n-ter Ordnung ist dann [mm] \summe_{k=0}^{n}a_{k}x^{k} [/mm] ???
Berechnet man das Restglied wiefolgt:
[mm] \bruch{P_n^{k+1}(\nu)}{k+1!}x^{k+1} [/mm] was ist hier mein [mm] \nu [/mm] und was erhalte ich dann muss der Rest 0 ergeben?
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Hallo nochmal,
du hast berechnet: [mm] P_n(x)=T_{n-1}(x)\red{+R_{n-1}(x)}=\summe_{k=0}^{n-1} a_{k}\cdot{}x^{k}\red{+R_{n-1}}
[/mm]
wobei [mm] R_{n-1}(x) [/mm] das (n-1)te Restglied ist.
Das ist in der Darstellung von Lagrange [mm] \bruch{P_n^{(n)}(\xi)}{n!}x^n [/mm] mit einem [mm] \xi \in [/mm] (0;x)
Gruß
schachuzipus
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[mm] P_{n}^{k}(\xi) [/mm] sind doch die Ableitung die wir vorher in der Form [mm] k!a_{k}+...+n(n-1)(n-2)*... [/mm] aufgeschrieben haben, oder??? nur eben anstatt dem x [mm] ein\xi
[/mm]
Aber dann kann ich das Restpolynom doch gar nicht genau angeben außer in der algemeinen Schreibweise
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{P_n^{k}(\xi)}{k!}(x-\xi)^{k} [/mm] ???
Stimmt das [mm] T_{n} [/mm] aus meinem vorigen Absatz?
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Hallo nochmal,
da du das TP von (n-1)ter Ordnung berechnen solltest, also [mm] T_{n-1}, [/mm] läuft das genau einen Index weniger weit, ist also
[mm] \summe_{k=0}^{n-1} a_{k}\cdot{}x^{k}
[/mm]
Dazu musste noch das Restglied addieren:
[mm] R_{n-1}(x)=\bruch{P_n^{(n)}(\xi)}{n!}x^n [/mm] mit [mm] \xi \in [/mm] (0;x)
Nun ist [mm] P_n^{(n)}(x)=n!a_n \Rightarrow P_n^{(n)}(\xi)=n!a_n
[/mm]
Also [mm] R_{n-1}(x)=\bruch{n!a_n}{n!}x^n=a_nx^n
[/mm]
also [mm] P_n(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=\summe_{k=0}^{n-1} a_{k}\cdot{}x^{k}+a_nx^n=\summe_{k=0}^{n} a_{k}\cdot{}x^{k}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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