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Ich habe ein paar verständnisprobleme was Taylorreihen angeht.
Und zwar konvergiert die Taylorreihe (sofern sie überhaupt konvergiert) nicht zwangsläufig gegen ihre Funktion.
Dazu haben wir im Skript folgendes Beispiel betrachtet:
Sei [mm] $f:\IR\to \IR$ [/mm] mit
[mm] $f\left(x\right)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{\left|x\right|}} & \text{für }x\not=0\\
0 & \text{für }x=0
\end{cases}$
[/mm]
Nun folgt ein langer beweis, dass die Funktion [mm] $f^{(k+1)}(0)=0$ [/mm] ist.
Nun wird gesagt:
Daher hat $f $ bei $0$ die auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Taylor-Reihe:
[mm] $\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}\left(0\right)}{k!}x^{k}=0$.
[/mm]
Diese Taylorreihe stellt offensichtlich $f$ in keinem Punkt außer $0$ dar.
Soweit sogut.
Gilt [mm] $\underset{n\to\infty}{\lim}R_{x_{0}}^{n}f\left(x\right)=0$, [/mm] dann konverigert die Tylorreihe bei $x$ gegen $f(x)$
Nun gilt nach der Lagrange-Form des Restgliedes:
[mm] $R_{0}^n [/mm] f(x)= [mm] \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi) x^{n+1}$ [/mm] mit einem [mm] $\xi$ [/mm] zwischen $x$ und [mm] $x_0$.
[/mm]
Hier muss ich zugeben, dass mir nicht ganz klar ist was "zwischen" bedeuten soll. [mm] $x_0$ [/mm] wäre bei dem Beispiel ja grade $0$.
x ist aber doch variable und kann alles sein. Heißt zwischen dann:
[mm] $\xi \in [/mm] (x,0) [mm] \vee \xi\in [/mm] (0, x)$ ?
Falls ja wäre ja
[mm] $R_{0}^n [/mm] f(x)= [mm] \frac{\pm p_n (\frac{1}{\xi})e^{-\frac{1}{|\xi|}}}{(n+1)!} x^{n+1} \to [/mm] 0$, da Fakultäten schneller wachsen als jede Potenz.
[mm] p_k [/mm] steht in dem Fall für ein geeignetes polynom und den Term [mm] $f^{(n)}=\pm p_n (\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{|x|}}
[/mm]
hatten wir als k-te Ableitung herausgefunden.
Was ist hier falsch?
Ich habe es so verstanden: Eine Taylorreihe konvergiert genau dann gegen die Funktion, wenn das Restglied gegen 0 geht. Dies ist aber hier der Fall. Die Taylorreihe stellt f aber nur in der 0 da.
Also gilt das ganze doch nicht. Oder habe ich was bei der Betrachtung des Restgleides falsch gemacht?
Ich wäre euch mega dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte, da ich dort schon seit tagen drüber nachdenke und einfach nicht weiter komme.
Mfg. Krümmelmonster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe ein paar verständnisprobleme was Taylorreihen
> angeht.
> Und zwar konvergiert die Taylorreihe (sofern sie
> überhaupt konvergiert) nicht zwangsläufig gegen ihre
> Funktion.
>
> Dazu haben wir im Skript folgendes Beispiel betrachtet:
>
> Sei [mm]f:\IR\to \IR[/mm] mit
>
> [mm]$f\left(x\right)=\begin{cases}
e^{-\frac{1}{\left|x\right|}} & \text{für }x\not=0\\
0 & \text{für }x=0
\end{cases}$[/mm]
>
> Nun folgt ein langer beweis, dass die Funktion
> [mm]f^{(k+1)}(0)=0[/mm] ist.
>
> Nun wird gesagt:
>
> Daher hat [mm]f[/mm] bei [mm]0[/mm] die auf ganz [mm]\IR[/mm] konvergente
> Taylor-Reihe:
>
>
>
> [mm]\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{k}\left(0\right)}{k!}x^{k}=0[/mm].
>
> Diese Taylorreihe stellt offensichtlich [mm]f[/mm] in keinem Punkt
> außer [mm]0[/mm] dar.
>
> Soweit sogut.
>
> Gilt
> [mm]\underset{n\to\infty}{\lim}R_{x_{0}}^{n}f\left(x\right)=0[/mm],
> dann konverigert die Tylorreihe bei [mm]x[/mm] gegen [mm]f(x)[/mm]
>
>
>
> Nun gilt nach der Lagrange-Form des Restgliedes:
>
> [mm]R_{0}^n f(x)= \frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(\xi) x^{n+1}[/mm] mit
> einem [mm]\xi[/mm] zwischen [mm]x[/mm] und [mm]x_0[/mm].
>
> Hier muss ich zugeben, dass mir nicht ganz klar ist was
> "zwischen" bedeuten soll. [mm]x_0[/mm] wäre bei dem Beispiel ja
> grade [mm]0[/mm].
> x ist aber doch variable und kann alles sein. Heißt
> zwischen dann:
>
> [mm]\xi \in (x,0) \vee \xi\in (0, x)[/mm] ?
Ja.
Man kann eine Taylorreihe auch um einen anderen Punkt als 0 entwickeln, nennen wir ihn mal a (falls du das noch nicht kennst: Es ist nicht wichtig, jetzt zu wissen, wie man das macht und was das bedeutet). Das [mm] \xi [/mm] liegt dann irgendwo zwischen a und x einschließlich (wobei x dann auch eine Zahl sein kann), also in [a|x] oder in [x|a], je nachdem ob a>x oder x>a ist.
>
>
> Falls ja wäre ja
>
>
> [mm]R_{0}^n f(x)= \frac{\pm p_k (\frac{1}{\xi})e^{-\frac{1}{|\xi|}}}{(n+1)!} x^{n+1} \to 0[/mm],
> da Fakultäten schneller wachsen als jede Potenz.
>
> [mm]p_k[/mm] steht in dem Fall für ein geeignetes polynom und den
> Term [mm]$f^{(k)}=\pm p_k (\frac{1}{x})e^{-\frac{1}{|x|}}[/mm]
>
> hatten wir als k-te Ableitung herausgefunden.
Ja, fast alles richtig.
Aber:
Du kennst das jeweilige Polynom nicht. Ich schreibe dir mal die ersten auf (aber nicht mit 1/x, sondern mit x als Argument):
[mm] p_0(x)=1
[/mm]
[mm] p_1(x)=\bruch{|x|}{x^3}
[/mm]
[mm] p_2(x)=\bruch{(6x^2+1)|x|-6x^2}{x^7}
[/mm]
[mm] p_3(x)= [/mm] - [mm] \bruch{(24x^2+12)|x|-36x^2-1}{x^8}
[/mm]
[mm] p_4(x)= \bruch{(120x^4+120x^2+1)|x|-240x^4-20x^2}{x^{11}}
[/mm]
Wenn du jetzt durch die entsprechende Fakultät dividierst, siehst du, dass in den Polynomen die Koeffizienten ebenfalls in etwa wie die Fakultäten wachsen und daher der Limes nicht gegen 0 geht, wenn man für x [mm] \xi [/mm] einsetzt.
>
> Was ist hier falsch?
>
> Ich habe es so verstanden: Eine Taylorreihe konvergiert
> genau dann gegen die Funktion, wenn das Restglied gegen 0
> geht. Dies ist aber hier der Fall. Die Taylorreihe stellt f
> aber nur in der 0 da.
>
> Also gilt das ganze doch nicht. Oder habe ich was bei der
> Betrachtung des Restgleides falsch gemacht?
>
> Ich wäre euch mega dankbar wenn mir jemand weiterhelfen
> könnte, da ich dort schon seit tagen drüber nachdenke und
> einfach nicht weiter komme.
>
> Mfg. Krümmelmonster
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hiho,
HJKweseleit hat dir zwar ein Beispiel gegeben, unter dessen Umständen deine Argumentation nicht stimmen muss, allerdings gilt in deinem Beispiel [mm] $p_n(x) \sim x^{2n}$. [/mm] Der Faktor vor dem höchsten Polynomterm ist also immer 1.
Warum passt deine Argumentation trotzdem nicht?
In deiner Betrachtung gehst du davon aus, dass für jedes Restglied [mm] $R_n$ [/mm] dasselbe [mm] $\xi$ [/mm] zur Beschreibung verwendet wird. Das stimmt aber im Allgemeinen gar nicht.
Das kannst du mal direkt versuchen für [mm] $R_5$,$R_6$ [/mm] und [mm] $R_7$ [/mm] zu verifizieren.
Korrekt wäre deine Gleichung also in der Form:
$ [mm] R_{0}^n [/mm] f(x)= [mm] \frac{\pm p_n (\frac{1}{\xi_n})e^{-\frac{1}{|\xi_n|}}}{(n+1)!} x^{n+1} \to [/mm] 0 $
Und du erkennst, dass der Grenzwert von der (möglicherweise nicht mal konvergenten) Folge [mm] $(\xi_n)_{n\in\IN}$ [/mm] abhängt.
Gruß,
Gono
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