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| Aufgabe | Entwickeln Sie die folgende Funktion um die Stelle [mm] x_0 [/mm] in eine Taylor-Reihe:
f(x)=cos x, [mm] x_0=\br{\pi}{3} [/mm] |
Hallo,
Ableitungen:
[mm] f(\br{\pi}{3})=\br{1}{2}
[/mm]
[mm] f'(\br{\pi}{3})=-\br{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] f''(\br{\pi}{3})=-\br{1}{2}
[/mm]
[mm] f'''(\br{\pi}{3})=\br{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Nun als Taylorreihe:
[mm] f(x)=\br{1}{2}-\br{\wurzel{3}}{2*1!}(x-\br{\pi}{3})^1-\br{1}{2*2!}(x-\br{\pi}{3})^2+\br{\wurzel{3}}{2*3!}(x-\br{\pi}{3})^3
[/mm]
Als Bildungsgesetz komme ich auf:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{}{2*n!}(x-\br{\pi}{3})^n
[/mm]
Hier weiss ich nicht recht weiter...
Im Lösungsbuch steht der Konvergenzbereich ist [mm] |x|=\infty. [/mm]
Brauche ich hierfür überhaupt ein Bildungsgesetz um das herauszufinden?
Kann man das in diesem Fall überhaupt bilden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:25 Do 04.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Entwickeln Sie die folgende Funktion um die Stelle [mm]x_0[/mm] in
> eine Taylor-Reihe:
>
> f(x)=cos x, [mm]x_0=\br{\pi}{3}[/mm]
> Hallo,
>
> Ableitungen:
>
> [mm]f(\br{\pi}{3})=\br{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f'(\br{\pi}{3})=-\br{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> [mm]f''(\br{\pi}{3})=-\br{1}{2}[/mm]
>
> [mm]f'''(\br{\pi}{3})=\br{\wurzel{3}}{2}[/mm]
>
> Nun als Taylorreihe:
>
> [mm]f(x)=\br{1}{2}-\br{\wurzel{3}}{2*1!}(x-\br{\pi}{3})^1-\br{1}{2*2!}(x-\br{\pi}{3})^2+\br{\wurzel{3}}{2*3!}(x-\br{\pi}{3})^3[/mm]
>
> Als Bildungsgesetz komme ich auf:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\br{}{2*n!}(x-\br{\pi}{3})^n[/mm]
>
> Hier weiss ich nicht recht weiter...
Ich würde so vorgehen:
cos(x)=cos((x- [mm] \bruch{\pi}{3})+ \bruch{\pi}{3})
[/mm]
Jetzt Additionstheorem und dann 2 Potenzreihen addieren....
>
> Im Lösungsbuch steht der Konvergenzbereich ist [mm]|x|=\infty.[/mm]
Steht in Deinem Lösungsbuch wirklich [mm]|x|=\infty.[/mm] ?
Wennja, so stopf es ins Klo.
Gemeint ist: der Konvergenzbereich ist [mm] \IR [/mm] (oder der Konvergenzradius ist = [mm] \infty).
[/mm]
>
> Brauche ich hierfür überhaupt ein Bildungsgesetz um das
> herauszufinden?
Nein.
>
> Kann man das in diesem Fall überhaupt bilden?
Ja.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Do 04.02.2016 | | Autor: | sonic5000 |
Hast Recht... Da habe ich mich geirrt... Im Buch steht natürlich:
Konvergenzbereich: [mm] |x|<\infty
[/mm]
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