Taylorpolynomentwicklung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Papewaio |
Hallo,
ich sitze gerade an der Entwicklungs der Taylorpolynome. Mein Problem ist, dass ich eine Aufgabe im Tutort bearbeitet habe und mir mein Tutor die Formel, die unser Professor verwendet hat, erläuterte. Die Formel lautet wie folgt:
[mm] \summe_{\alpha\in k} (\partial^{|\alpha|}f)/(\partial x^\alpha)*x_{0}*(x-x_{0})^\alpha/\alpha!
[/mm]
Diese Formel habe ich auf folgende Aufgabe angewandt:
f: [mm] \IR [/mm] x [mm] (o,\infty) \to \IR
[/mm]
f(x,t)= [mm] 1/(4\pi*t)*e^{-x^2/t}
[/mm]
Entwickeln sie das Taylorpolynom 2. Grades im Punkt [mm] (x_{0}, t_{o})
[/mm]
Wende ich dieses Verfahren an, komme ich auf die richtige Lösung:
[mm] 1/(4\pi)*(1-t-x^2+t^2)
[/mm]
So, ich habe nun in eine Repititorium geschaut, um ein paar Aufgaben zum Taylorpolynom zu rechnen, da ich dachte: Übung macht den Meister.
Dort fand ich folgende Formel:
T(x,y)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} 1/(k!)*[(\partial/\partial [/mm] x [mm] *(x-x_{0})+\partial/\partial y*(y-y_{0})]^k f(x_{o},y_{0})
[/mm]
Mit dieser Formel komme ich aber auf ein anderes Ergebnis:
[mm] 1/(4\pi)*(1-(t-1)-x^2+2*(t-1)^2)
[/mm]
Ich habe es gefühlte 1000 mal nachgerechnet.
Kann es sein, dass ich bei den Formel irgendwie was verwechsle oder die beiden für unterschiedliche Operationen da sind?
Irgendwie habe ich das nicht auf den Trichter bekommen ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> ich sitze gerade an der Entwicklungs der Taylorpolynome.
> Mein Problem ist, dass ich eine Aufgabe im Tutort
> bearbeitet habe und mir mein Tutor die Formel, die unser
> Professor verwendet hat, erläuterte. Die Formel lautet wie
> folgt:
> [mm]\summe_{\alpha\in k} (\partial^{|\alpha|}f)/(\partial x^\alpha)*x_{0}*(x-x_{0})^\alpha/\alpha![/mm]
>
> Diese Formel habe ich auf folgende Aufgabe angewandt:
> f: [mm]\IR[/mm] x [mm](o,\infty) \to \IR[/mm]
> f(x,t)=
> [mm]1/(4\pi*t)*e^{-x^2/t}[/mm]
> Entwickeln sie das Taylorpolynom 2. Grades im Punkt
> [mm](x_{0}, t_{o})[/mm]
Es wäre nicht schlecht, wenn [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $t_0$ [/mm] auch noch effektiv angegeben würden.
>
> Wende ich dieses Verfahren an, komme ich auf die richtige
> Lösung:
> [mm]1/(4\pi)*(1-t-x^2+t^2)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum sollte dies richtig sein? Schliesslich ist $f(x,t)$ gar nicht um [mm] $x_0=t_0=0$ [/mm] entwickelbar, denn $f$ und seine Ableitungen sind für [mm] $t_0=0$ [/mm] nicht definiert.
>
> So, ich habe nun in eine Repititorium geschaut, um ein paar
> Aufgaben zum Taylorpolynom zu rechnen, da ich dachte: Übung
> macht den Meister.
> Dort fand ich folgende Formel:
>
> [mm]T(x,y)= \summe_{k=0}^{\infty} 1/(k!)*[(\partial/\partial x
*(x-x_{0})+\partial/\partial y*(y-y_{0})]^k f(x_{o},y_{0})[/mm]
>
> Mit dieser Formel komme ich aber auf ein anderes Ergebnis:
> [mm]1/(4\pi)*(1-(t-1)-x^2+\red{2*}(t-1)^2)[/mm]
Dies ist beinahe richtig, nur der rot markierte Faktor $2$ ist falsch. Der [mm] $(t-1)^2$ [/mm] Summand muss doch gleich
[mm]\frac{1}{2!}\cdot \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}(0,1)\; (t-1)^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\pi}(t-1)^2=\frac{1}{4\pi}(t-1)^2[/mm]
sein.
> Ich habe es gefühlte 1000 mal nachgerechnet.
> Kann es sein, dass ich bei den Formel irgendwie was
> verwechsle oder die beiden für unterschiedliche Operationen
> da sind?
Es ist doch offensichtlich, dass Du in den beiden Fällen noch nicht einmal um denselben Punkt [mm] $(x_0|t_0)$ [/mm] entwickelt hast. Wenn Du aber in Deiner ersten Lösung anstelle von $t$ jeweils $t-1$ einsetzt, dann erhältst Du auch auf dem ersten Weg [mm] $1/(4\pi)*(1-(t-1)-x^2+(t-1)^2)$. [/mm] - Beide Verfahren liefern, richtig ausgeführt, dasselbe Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 So 27.07.2008 | | Autor: | Papewaio |
Hi Somebody
vielen Dank für deine Antwort, ich habe meinen Fehler gefunden. Bei beiden Verfahren wurde um den selben Punkt (0,1) entwickelt, habe es nur verrafft hinzuschreiben. Ich habe beides nochmal nachgerechnet und war etwas irritiert von der Musterlösung unseres Matheprofs, jetzt ist es mir allerdings klar geworden. Vielen Dank!
Gruß Pape
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