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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Fr 15.06.2007 | | Autor: | katinki |
| Aufgabe | Aufgabe 2 - Taylorpolynome
a) Gegeben sei die Funktion f : R [mm] \to [/mm] R mit f(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{e^{x}} [/mm] .
i) Berechnen Sie das Taylorpolynom 3. Grades T3 mit Entwicklungspunkt
x0 = 0.
ii) Zeigen Sie, dass f¨ur den Fehler r3(x) := f(x) − T3(x) f¨ur |x| < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gilt: |r3(x)| < [mm] \bruch{1}{12}.
[/mm]
Sch¨atzen Sie dabei den Fehler mit dem Restglied
von Lagrange ab. |
Hallo,
ich schreibe am Dienstag eine Klausur und habe bei diesem Teilgebiet einfach mal so rein gar keine Ahnung. Dies ist eine Aufgabe, wie sie in etwa dran kommen könnte. Würde mich freun, wenn mir vielleicht irgendjemand helfen könnte, so dass ich mehr Verständnis darüber bekomme.
mit freundlichen Grüssen
Kati
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Bei den Taylorpolynomen handelt es sich ausnahmsweise um einen Teilbereich der Mathematik, der nicht unbedingt versanden sein muss. Du must einfach den Algorithmus lernen (wei z.B. die Polynomdivision), der Rest ist Rechenkram.
Wie du sicher schon festgestellt hast (!!!???), kann man f(x) auch schreiben als [mm] f(x)=x^2 e^{-x}. [/mm] Das vereinfacht die folgenden Berechnungen (Produktregel):
[mm] f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}
[/mm]
[mm] f''(x)=(2-4x+x^2)e^{-x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=(-6+6x-x^2)e^{-x}
[/mm]
[mm] f''''(x)=(12-8x+x^2)e^{-x}
[/mm]
[mm] f'''''(x)=(-20+10x-x^2)e^{-x}
[/mm]
Falls du das nicht heraus bekommen kannst, bist du allerdings völlig aufgeschmissen!
Nun berechnest du
f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)=2
f'''(0)=-6
und dann
[mm] a_0=f(0)/0!=0 [/mm]
[mm] a_1=f'(0)/1!=0
[/mm]
[mm] a_2=f''(0)/2!=1
[/mm]
[mm] a_3=f'''(0)/3!=-1
[/mm]
Damit ergibt sich für das Taylorpolynom 3. Grades
[mm] T(x)=a_0(x-0)^0+a_1(x-0)^1+a_2(x-0)^2+a_3(x-0)^3
[/mm]
[mm] =x^2-x^3
[/mm]
Für die Fehlerabschätzung mit Lagrange-Restglied gilt:
Der Fehler beträgt
<und jetzt schreibst du einfach das nächste Glied auf, aber nicht mit f''''(0), sondern mit [mm] f''''(\xi), [/mm] also>
[mm] (12-8\xi+\xi^2)e^{-\xi}/4!(x-0)^4
[/mm]
Nun gibt f''''' die Steigung von f'''' an und ist für |x|<1/2 erkennbar negativ. Das heißt, dass f'''' im Intervall von -1/2 bis 1/2 bei x=-1/2 seinen größten Wert hat, nämlich f''''(-1/2)<26,8.
Damit wird der Fehler [mm] |(12-8\xi+\xi^2)e^{-\xi}/4!(x-0)^4|
[/mm]
[mm] <26,8/24*(-1/2)^4=26,8/24*1/16<1/12.
[/mm]
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Nach der Erkenntnis, dass [mm] f(x)=x^2*e^{-x} [/mm] ist, kann man natürlichauch direkt auf die Reihendarstellung von [mm] e^{-x} [/mm] zugreifen:
[mm] f(x)=x^2*\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{i!}x^i
[/mm]
[mm] =\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(-1)^i}{i!}x^{i+2}
[/mm]
[mm] =x^2/0!-x^3/1!+x^4/2!-x^5/3!+...
[/mm]
Damit hättest du sofort die komplette Taylorreihe. Ich weiß aber nicht, ob dein Prof dir das in der Klausur erlaubt, vielleicht will er die Berechnungen der Ableitungen sehen. Außerdem gibt es genug Funktionen, die man nicht so einfach hinschreiben kann (z.B. [mm] e^x*sin(x)).
[/mm]
Wenn man obige Reihe nach [mm] x^3 [/mm] abbricht, erhält man im Intervall von -1/2 bis 1/2 den größten Fehler für x=-1/2 mit [mm] R(-1/2)=(1/2)^4/2!+(1/2)^5/3!+(1/2)^6/4!+(1/2)^7/5!+...
[/mm]
[mm] <(1/2)^4/2!+(1/2)^5/2!+(1/2)^6/2!+(1/2)^7/2!+...
[/mm]
[mm] =(1/2)^5+(1/2)^6+(1/2)^5+(1/2)^7+(1/2)^8+...
[/mm]
[mm] =(1/2)^5*(1+1/2+1/4+1/8+...)=(1/2)^5*2=(1/2)^4=1/16<1^/12
[/mm]
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