Taylorpolynom mit Restglied < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie zu f(x)= [mm] 2(1,12+x)^\bruch{1}{3} [/mm] an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0
das Taylorpolynom [mm] T_2(x). [/mm] Geben Sie das Restglied in der Form [mm] R_2(x) [/mm] = [mm] S_2(\varepsilon) x^3 [/mm] an, wobei [mm] S_2(\varepsilon) [/mm] von der Form [mm] \bruch{10}{81 g(\varepsilon)} [/mm] mit geeigneten [mm] g(\varepsilon) [/mm] sein soll. Schätzen Sie das Restglied in [0,3] durch Maximierung von [mm] |S_2(\varepsilon)| [/mm] ab. |
So ich hab jetzt bei der Aufgabe also angefangen die Ableitungen zu machen.
f´(x) = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] (1,12 + [mm] x)^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
f´´(x) = [mm] \bruch-{4}{9} [/mm] (1,12 + [mm] x)^{-\bruch{5}{3}}
[/mm]
[mm] f^3(x) [/mm] = [mm] \bruch{20}{27} [/mm] (1,12 + [mm] x)^{-\bruch{8}{3}}
[/mm]
so und dann hab ich [mm] x_0=0 [/mm] eingesetzt
f´(0)= 2,07699
f´´(0) = 0,618154
[mm] f^3(0) [/mm] = -0,36795
f(x) 2,07699 + 0,618154x + (-0,183975 [mm] x^2) [/mm] + [mm] R_2 [/mm] (x)
So und dann das Restglied
[mm] R_n(x)= \bruch{f^(n+1)}{(n+1)!} (x-x_0)^n+1 [/mm] , [mm] \varepsilon \in [x_0,x]
[/mm]
[mm] R_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{f^3(\varepsilon)}{3!} x^3
[/mm]
[mm] R_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{10}{81 (1,12 + \varepsilon)^\bruch{8}{3}} x^3
[/mm]
Und jetzt weiß ich irgendwie net mehr weiter
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Hallo Bengel777,
> Ermitteln Sie zu f(x)= [mm]2(1,12+x)^\bruch{1}{3}[/mm] an der Stelle
> [mm]x_0[/mm] = 0
>
> das Taylorpolynom [mm]T_2(x).[/mm] Geben Sie das Restglied in der
> Form [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]S_2(\varepsilon) x^3[/mm] an, wobei
> [mm]S_2(\varepsilon)[/mm] von der Form [mm]\bruch{10}{81 g(\varepsilon)}[/mm]
> mit geeigneten [mm]g(\varepsilon)[/mm] sein soll. Schätzen Sie das
> Restglied in [0,3] durch Maximierung von [mm]|S_2(\varepsilon)|[/mm]
> ab.
> So ich hab jetzt bei der Aufgabe also angefangen die
> Ableitungen zu machen.
>
> f´(x) = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] (1,12 + [mm]x)^{-\bruch{2}{3}}[/mm]
> f´´(x) = [mm]\bruch-{4}{9}[/mm] (1,12 + [mm]x)^{-\bruch{5}{3}}[/mm]
> [mm]f^3(x)[/mm] = [mm]\bruch{20}{27}[/mm] (1,12 + [mm]x)^{-\bruch{8}{3}}[/mm]
>
> so und dann hab ich [mm]x_0=0[/mm] eingesetzt
>
> f´(0)= 2,07699
> f´´(0) = 0,618154
> [mm]f^3(0)[/mm] = -0,36795
>
> f(x) 2,07699 + 0,618154x + (-0,183975 [mm]x^2)[/mm] + [mm]R_2[/mm] (x)
>
> So und dann das Restglied
>
> [mm]R_n(x)= \bruch{f^(n+1)}{(n+1)!} (x-x_0)^n+1[/mm] , [mm]\varepsilon \in [x_0,x][/mm]
>
> [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{f^3(\varepsilon)}{3!} x^3[/mm]
>
> [mm]R_2(x)[/mm] = [mm]\bruch{10}{81 (1,12 + \varepsilon)^\bruch{8}{3}} x^3[/mm]
>
> Und jetzt weiß ich irgendwie net mehr weiter
Maximiere jetzt
[mm]\vmat{\bruch{10}{81*\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Ja aber wie Maximiere ich denn da liegt ja mein Problem bei der ganzen sache
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Hallo Bengel777,
> Ja aber wie Maximiere ich denn da liegt ja mein Problem bei
> der ganzen sache
In dem Du schaust, wann dieser Ausdruck
[mm]\vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}}}[/mm]
maximal wird.
Und im Nenner steht eine lineare Funktion,
die mit einer Zahl potenziert wird.
Der obige Ausdruck wird demnach maximal,
wenn die lineare Funktion ihr ... annimmt.
Gruß
MathePower
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Also wird alles Maximal wenn die lineare Funktion minimal wird hab ich das richtig verstanden?
Und minimal wäre ja dann wenn in der Klammer ne 0 stehen würde oder?
Und durch 0 kann man net teilen, irgendwie steh ich glaub voll aufm schlauch
Aber trotzdem verstehe ich net was ich da dann jetzt machen muss wir haben das in der übung zwar gemacht aber mir scheint da wurde ein schritt weg gelassen an dem ich grad scheitere
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Hallo Bengel777,
> Also wird alles Maximal wenn die lineare Funktion minimal
> wird hab ich das richtig verstanden?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Und minimal wäre ja dann wenn in der Klammer ne 0 stehen
> würde oder?
Das kommt auf die lineare Funktion an.
> Und durch 0 kann man net teilen, irgendwie steh ich glaub
> voll aufm schlauch
Nun, das ist eine lineare Funktion der Bauart [mm]a+b*\varepsilon[/mm] mit
[mm]a\not=0, \ b\not=0[/mm] und [mm]\varepsilon \in \left[x_{0},x\right][/mm].
Untersuche hier die beiden Intervallenden und
bestimme dann daraus den betragsmäßig größten Wert.
>
> Aber trotzdem verstehe ich net was ich da dann jetzt machen
> muss wir haben das in der übung zwar gemacht aber mir
> scheint da wurde ein schritt weg gelassen an dem ich grad
> scheitere
Gruß
MathePower
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Na das größte von dem Intervall is doch 3 oder nich? Muss ich das jetz für [mm] \varepsilon [/mm] einsetzen oder wie? Tut mir echt leid du denkst bestimmt is die Blöd aber ich raff Mathe einfach net und mich wunderts das ich überhaupt bis dahin gekommen bin
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Hallo Bengel777,
> Na das größte von dem Intervall is doch 3 oder nich? Muss
> ich das jetz für [mm]\varepsilon[/mm] einsetzen oder wie? Tut mir
> echt leid du denkst bestimmt is die Blöd aber ich raff
> Mathe einfach net und mich wunderts das ich überhaupt bis
> dahin gekommen bin
Wir waren soweit, das der besagte Ausdruck
[mm]\vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}}}[/mm]
maximal wird,
wenn die lineare Funktion [mm]1,12+\varepsilon[/mm] ihr Minimum annimmt.
Da [mm]\varepsilon \in \left[0,3\right][/mm] liegt das Minimum bei [mm]\varepsilon = ... [/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Di 26.05.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Also is [mm] \varepsilon [/mm] = 0 dann wird der ausdruck zum Minimum
und wie schreibe ich das dann auf das ich auf das restglied komme
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Hallo Bengel777,
> Also is [mm]\varepsilon[/mm] = 0 dann wird der ausdruck zum Minimum
>
> und wie schreibe ich das dann auf das ich auf das restglied
> komme
[mm]\vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}}} \le \bruch{10}{81\cdot{}\left( \ 1,12 \ \right)^\bruch{8}{3}}} [/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Di 26.05.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Also is das restglied rund 0,091257... oder muss ich da jetzt noch was beachten?
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Hallo Bengel777,
> Also is das restglied rund 0,091257... oder muss ich da
> jetzt noch was beachten?
Dieser Zahlenwert dient nur der Abschätzung dieses Ausdrucks:
[mm] \vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}}} \le
\vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left( \ 1,12 \ \right)^\bruch{8}{3}}} = 0,091257...[/mm]
Demnach gilt für das Restglied
[mm]\vmat{R_{2}\left(x\right)} = \vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}} x^{3}} = \vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left(1,12 + \varepsilon\right)^\bruch{8}{3}} }x^{3} \le \vmat{\bruch{10}{81\cdot{}\left( \ 1,12 \ \right)^\bruch{8}{3}}}*x^{3}=\bruch{10}{81\cdot{}\left( \ 1,12 \ \right)^\bruch{8}{3}}*x^{3}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 Di 26.05.2009 | | Autor: | Bengel777 |
Ok das war ne schwere geburt, ich danke für die Geduld mein retter 
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