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| Aufgabe | Die Verteilungsfunktion einer standardisierten Normalverteilung ist gegeben durch
[mm] G(b)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}
[/mm]
Der Graph des Integranden [mm] g(t)=\bruch{1}{2\pi}*e^{-\bruch{t^{2}}{2}} [/mm] ist die Gauss'sche Glockenkurve. G(b) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert höchstens gleich b ist und ist gleich dem Flächeninhalt unter der Glockenkurve von [mm] -\infty [/mm] bis b. Die Fläche unter der Gauss'schen Glockenkurve [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] ist gleich 1. Berechnen Sie näherungsweise G(1) mithilfe des Taylorpolynoms 2. Grades (Tipp: Zerlegen Sie das Integral in zwei Teile von [mm] -\infty [/mm] bis 0 und von 0 bis 1. Was ist G(0)? |
Hallo zusammen
So weit, so gut. Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Es steht ja schon, dass man das Integral zerlegen soll, das ist auch nicht das Problem:
[mm] G(b)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{1}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}=\bruch{1}{2\pi}*(\integral_{-\infty}^{0}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}+\integral_{0}^{1}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt})
[/mm]
Aber irgendwie weiss ich jetzt nicht, wie ich weiter komme ... kann mir jemand einen Tipp (nicht die Lösung bitte  ) geben, wie ich nun weiter vorgehen kann? Kann ich [mm] e^{-\bruch{t^{2}}{2}} [/mm] überhaupt integrieren (Mathematica gibt immer die Errorfunktion aus)? Denn um daraus direkt ein Taylorpolynom zu berechnen, dazu hab ich das ganze noch zu wenig berechnet oder? Und eine Majorante zu finden, das nützt in diesem Fall auch nichts, weil beide möglicherweise sowieso konvergieren (oke, ist ne Vermutung ;)).
Über einen kleinen Tipp, der mir die richtige Richtung weist, wäre ich sehr dankbar :)
Viele Grüsse
Lukas
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> Die Verteilungsfunktion einer standardisierten
> Normalverteilung ist gegeben durch
>
> [mm]G(b)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Der Vorfaktor ist falsch (Wurzel vergessen !)
> Der Graph des Integranden
> [mm]g(t)=\bruch{1}{2\pi}*e^{-\bruch{t^{2}}{2}}[/mm] ist die
> Gauss'sche Glockenkurve. G(b) bedeutet die
> Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert höchstens gleich b
> ist und ist gleich dem Flächeninhalt unter der
> Glockenkurve von [mm]-\infty[/mm] bis b. Die Fläche unter der
> Gauss'schen Glockenkurve [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm] ist gleich 1.
> Berechnen Sie näherungsweise G(1) mithilfe des
> Taylorpolynoms 2. Grades (Tipp: Zerlegen Sie das Integral
> in zwei Teile von [mm]-\infty[/mm] bis 0 und von 0 bis 1. Was ist
> G(0)?
>
> Hallo zusammen
>
> So weit, so gut. Aber irgendwie fehlt mir der Ansatz, wie
> ich diese Aufgabe lösen kann. Es steht ja schon, dass man
> das Integral zerlegen soll, das ist auch nicht das
> Problem:
>
> [mm]G(b)=\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{1}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}=\bruch{1}{2\pi}*(\integral_{-\infty}^{0}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}+\integral_{0}^{1}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt})[/mm]
>
> Aber irgendwie weiss ich jetzt nicht, wie ich weiter komme
> ... kann mir jemand einen Tipp (nicht die Lösung bitte
> ) geben, wie ich nun weiter vorgehen kann? Kann ich
> [mm]e^{-\bruch{t^{2}}{2}}[/mm] überhaupt integrieren
Nein, man kann keine Stammfunktion angeben, die durch
die üblichen Standardfunktionen ausdrückbar ist.
> (Mathematica gibt immer die Errorfunktion aus)?
Dies heisst aber nicht etwa, dass Mathematica damit eine
Fehlermeldung ausgibt ! Sondern: Die Funktion ![[]](/images/popup.gif) erf (error
function) ist genau durch ein solches Integral definiert,
das man nicht mittels "elementaren" Funktionen darstellen kann.
> Denn um daraus direkt
> ein Taylorpolynom zu berechnen, dazu hab ich das ganze noch
> zu wenig berechnet oder? Und eine Majorante zu finden, das
> nützt in diesem Fall auch nichts, weil beide
> möglicherweise sowieso konvergieren (oke, ist ne Vermutung
> ;)).
>
> Über einen kleinen Tipp, der mir die richtige Richtung
> weist, wäre ich sehr dankbar :)
Hallo Lukas,
den Wert des ersten der beiden Teilintegrale kann man durch eine
simple Betrachtung ermitteln. Für das zweite (von 0 bis 1) ersetzt
du diesen Teil der Glockenkurve durch das Taylorpolynom. Diese
Ersatzfunktion lässt sich dann natürlich leicht integrieren.
LG Al-Chw.
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Hallo
Vielen Dank für deine Antwort. Die Wurzel hab ich leider irgendwie vergessen einzutippen, tut mir leid.
Ich versuche es mal (zuerst noch die korrekte Funktion ) ...
[mm] G(b)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\cdot{}\integral_{-\infty}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt} [/mm]
Zum ersten Teil des Integrals:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{0}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}
[/mm]
Die zu integrierende Funktion ist symmetrisch [mm] (e^{-\bruch{t^{2}}{2}}=e^{-\bruch{(-t)^{2}}{2}}).
[/mm]
Damit ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{0}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt})=\bruch{1}{2}. [/mm] Dies mithilfe der Formulierung in der Aufgabe (gibt es eine einfache Herleitung, warum das Integral von $ [mm] -\infty [/mm] $ bis $ [mm] \infty=0 [/mm] $?).
Der zweite Teil des Integrals:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}
[/mm]
Das Taylorpolynom zweiten Grades (oder müsste ich jetzt da das Polynom 1. Grades nehmen, weil beim Integrieren sich der Grad um 1 erhöht?) von [mm] e^{-\bruch{t^{2}}{2}} [/mm] ist dann [mm] 1-\bruch{t^2}{2}. [/mm] Somit ist
[mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}\approx\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\integral_{0}^{b}{1-\bruch{t^2}{2}}dt=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}(b-\bruch{b^3}{6}-0+\bruch{0^3}{6})=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}(b-\bruch{b^3}{6})
[/mm]
Und zusammengesetzt gibt dann das:
[mm] G(b)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}\cdot{}\integral_{-\infty}^{b}{e^{-\bruch{t^{2}}{2}} dt}\approx\bruch{1}{2}+\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}(b-\bruch{b^3}{6})
[/mm]
und
[mm] G(1)\approx\bruch{1}{2}+\bruch{5}{6\wurzel{2\pi}}\approx0.83
[/mm]
Kann da kurz nochmals jemand drüber schauen? 
Vielen Dank und Gruess
Lukas
Edit: Noch nen Tippfehler gefunden.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
