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| Aufgabe | | Bestimmen Sie für [mm] f(x)=\sqrt{1+x} [/mm] das Taylorpolynom [mm] T_{3} [/mm] mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}. [/mm] Wie groß ist der Fehler von [mm] T_{3}(x) [/mm] zum exakten Wert f(x) für [mm] x\in]-\frac{1}{10},\frac{1}{10}[ [/mm] höchstens? Ist [mm] T_{3}(x) [/mm] in diesem Bereich kleiner gleich oder größer gleich f(x)? |
Hallo!
Die Taylorfomel ist mir bekannt, allerdings weiss ich nicht genau wie ich am Besten vorgehen soll. Ersteinmal habe ich verschiedene Ableitungen bestimmt, um eine Gesetzmässigkeit zu finden.
[mm] f(x)=\sqrt{1+x}
[/mm]
[mm] f^{(1)}(x)=\frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(2)}(x)=-\frac{1}{4(1+x)^\frac{3}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(3)}(x)=\frac{3}{8(1+x)^\frac{5}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(4)}(x)=-\frac{15}{16(1+x)^\frac{7}{2}}
[/mm]
[mm] f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\frac{}{2^{n}(1+x)^\frac{2n-1}{2}}
[/mm]
Hier finde ich allerdings keine Regelmässigkeit für <?>. Habe ich was falsch gemacht?
Anschliessend würde ich folgende Schritte tätigen:
-Einsetzen in Taylorformel
-Auftrennen der Summe in Einzelglieder und zusammenfassen ->fertig.
Wie bestimme ich anschliessend den Fehler? Einsetzen und in [mm] f^{(3)} [/mm] und [mm] T_{3} [/mm] und die Differenz bilden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mi 09.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie für [mm]f(x)=\sqrt{1+x}[/mm] das Taylorpolynom [mm]T_{3}[/mm]
> mit Entwicklungspunkt [mm]x_{0}.[/mm] Wie groß ist der Fehler von
> [mm]T_{3}(x)[/mm] zum exakten Wert f(x) für
> [mm]x\in]-\frac{1}{10},\frac{1}{10}[[/mm] höchstens? Ist [mm]T_{3}(x)[/mm]
> in diesem Bereich kleiner gleich oder größer gleich
> f(x)?
> Hallo!
> Die Taylorfomel ist mir bekannt, allerdings weiss ich
> nicht genau wie ich am Besten vorgehen soll. Ersteinmal
> habe ich verschiedene Ableitungen bestimmt, um eine
> Gesetzmässigkeit zu finden.
> [mm]f(x)=\sqrt{1+x}[/mm]
> [mm]f^{(1)}(x)=\frac{1}{2(1+x)^\frac{1}{2}}[/mm]
> [mm]f^{(2)}(x)=-\frac{1}{4(1+x)^\frac{3}{2}}[/mm]
> [mm]f^{(3)}(x)=\frac{3}{8(1+x)^\frac{5}{2}}[/mm]
> [mm]f^{(4)}(x)=-\frac{15}{16(1+x)^\frac{7}{2}}[/mm]
>
> [mm]f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\frac{}{2^{n}(1+x)^\frac{2n-1}{2}}[/mm]
> Hier finde ich allerdings keine Regelmässigkeit für <?>.
Das brauchst Du doch gar nicht ! Für [mm] T_3 [/mm] und die Fehlerabschätzung benötigst Du nur die Ableitungen bis zur Ornung 4, und die hast Du richtig
Dann ist f(x) = [mm] T_3(x) [/mm] +R(x)
Für das Restglied hattet Ihr siche eine Darstellung in der die 4. Ableitung vorkommt
FRED
> Habe ich was falsch gemacht?
> Anschliessend würde ich folgende Schritte tätigen:
> -Einsetzen in Taylorformel
> -Auftrennen der Summe in Einzelglieder und zusammenfassen
> ->fertig.
> Wie bestimme ich anschliessend den Fehler? Einsetzen und
> in [mm]f^{(3)}[/mm] und [mm]T_{3}[/mm] und die Differenz bilden?
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