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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Do 08.01.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für die Funktion [mm] f(x)=e^{x} [/mm] das Taylorpolynom vom Grad n=6 [mm] (x_{0}=0). [/mm] Bestimmen Sie seinen Wert an der Stelle x=-1. Schätzen Sie durch die Berechnung des Restgliedes ab, wie genau [mm] f(-1)=e^{-1}=\bruch{1}{e} [/mm] durch diesen Wert approximiert wird. |
Hallo Leute, ich bin folgendermaßen vorgegangen:
[mm] T(x)=\summe_{i=0}^{n} \bruch{f^{(i)} (x_{0})}{i!}*(x-x_{0})^{i}
[/mm]
[mm] f(x)=e^{x} [/mm] f(0)=1
[mm] f'(x)=e^{x} [/mm] f'(0)=1
....
[mm] f^{(6)}(x)=e^{x}\to f^{(6)}(0)=1
[/mm]
[mm] T_{6,0}(x)=1+\bruch{x}{1}+\bruch{x^{2}}{2}+\bruch{x^{3}}{6}+\bruch{x^{4}}{24}+\bruch{x^{5}}{120}+\bruch{x^{6}}{720}
[/mm]
[mm] T_{6,0}(-1)=0,368055556
[/mm]
Nun kommt das Restglied:
[mm] R_{n,x_{0}}(x)=\bruch{f^{n+1}*\varepsilon}{(n+1)!}*(x-x_{0})^{n+1} [/mm] mit [mm] \varepsilon \in [x_{0},x]
[/mm]
Ich habe die Formel für das Restglied und die gebrauchte siebte Ableitung ist die gleiche . Nun weiß ich nicht mehr, wie man vorgehen muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein Restglied kann man immer nur abschätzen, nicht ausrechnen, sonst hätte man ja den exakten Wert.
Du musst also den Wert von [mm] \epsilon [/mm] nehmen, für den das [mm] f^{(n+1)}(\epsilon) [/mm] in dem Intervall am grössten ist, das wäre hier beim Intervall (-1,0) bei 0 also setzt du für weil [mm] e^x [/mm] ja monoton wächst.also setzt du für [mm] f^{(n+1)}(\epsilon) f^{(n+1)}(0) [/mm] ein (für x natürlich -1)
du hast [mm] f^{(n+1)}*\epsilon [/mm] geschrieben, ich hoff das ist nur ein Tippfehler, es heisst [mm] f^{(n+1)}(\epsilon)
[/mm]
Du sagst also der Fehler ist kleiner gleich |R(0)|
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo und danke für die Antwort.
Hmm, so richtig habe ich das mit dem Abschätzen noch nicht verstanden.
Ich schreib mal auf, wie wir heute vorgegangen sind:
Also es gilt wie [mm] gesagt:R_{n+1}(x)=\bruch{f^{n+1} (\varepsilon)}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1}. [/mm] Für mein [mm] \varepsilon [/mm] gilt: [mm] -1\le\varepsilon\le0. [/mm]
[mm] R_{7}(-1)= \bruch{e^{\varepsilon}}{5040}*(-1)^{7}=-0,0002*e^{\varepsilon}. [/mm] So, der Ausdruck [mm] e^{\varepsilon} [/mm] ist noch nicht ganz klar und muss unter die Lupe genommen werden.
[mm] -1\le\varepsilon\le0
[/mm]
[mm] e^{-1}\le e^{\varepsilon}\le e^{0}
[/mm]
Nun kann man für den Ausdruck [mm] e^{\varepsilon} [/mm] Grenzen setzen, z.B.
[mm] 0\le e^{\varepsilon} \le1. [/mm] So wie ich verstehe setze ich diese Grenzen nicht auf Basis irgendeiner Rechnung, sondern einfach nur aus dem Wissen heraus, dass [mm] e^{\varepsilon} [/mm] in jedem Falle zwischen 1 und 0 liegen muss. Ich hätte rein theoretisch daher auch [mm] 0,2\le e^{\varepsilon} \le1 [/mm] sagen können. Die restlichen Schritte verstehe ich nicht ganz:
[mm] \underbrace{-0,0002}_{e^{\varepsilon}\to1}\le R_{7}(-1) \le\underbrace{0}_{e^{\varepsilon}\to0}
[/mm]
[mm] 0,368056-0,0002\le e^{-1}\le [/mm] 0,368056
[mm] 0,367856\le e^{-1}\le [/mm] 0,368056
Kann mir das jemand erklären?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Fr 09.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> s.oben
> Hallo und danke für die Antwort.
> Hmm, so richtig habe ich das mit dem Abschätzen noch nicht
> verstanden.
> Ich schreib mal auf, wie wir heute vorgegangen sind:
> Also es gilt wie [mm]gesagt:R_{n+1}(x)=\bruch{f^{n+1} (\varepsilon)}{(n+1)!}\cdot{}x^{n+1}.[/mm]
> Für mein [mm]\varepsilon[/mm] gilt: [mm]-1\le\varepsilon\le0.[/mm]
> [mm]R_{7}(-1)= \bruch{e^{\varepsilon}}{5040}*(-1)^{7}=-0,0002*e^{\varepsilon}.[/mm]
> So, der Ausdruck [mm]e^{\varepsilon}[/mm] ist noch nicht ganz klar
> und muss unter die Lupe genommen werden.
>
> [mm]-1\le\varepsilon\le0[/mm]
> [mm]e^{-1}\le e^{\varepsilon}\le e^{0}[/mm]
> Nun kann man für den
> Ausdruck [mm]e^{\varepsilon}[/mm] Grenzen setzen, z.B.
> [mm]0\le e^{\varepsilon} \le1.[/mm] So wie ich verstehe setze ich
> diese Grenzen nicht auf Basis irgendeiner Rechnung, sondern
> einfach nur aus dem Wissen heraus, dass [mm]e^{\varepsilon}[/mm] in
> jedem Falle zwischen 1 und 0 liegen muss. Ich hätte rein
> theoretisch daher auch [mm]0,2\le e^{\varepsilon} \le1[/mm] sagen
> können. Die restlichen Schritte verstehe ich nicht ganz:
eigentlich weisst du da [mm] \epsilon [/mm] zwischen -1 und 0 liegt das [mm] e^{\epsilon} [/mm] zwischen 1/e und 1 liegt. warum man da 0 schreibt, seh ich nicht ein, ist aber auch nicht falsch!
Jetzt ist das Restglied auf jedenfall negativ, d.h. man hat sicher einen zu grossen Wert berechnet.
die eine Grenze zeigt an, wieviel es höchstens zu groß ist, und dann habt ihr die andere Seite gesagt 0 abgezogen. Das find ich zu grßzügig, genau müsst es heissen :
> [mm]\underbrace{-0,0002}_{e^{\varepsilon}\to1}\le R_{7}(-1) \le\underbrace{0}_{e^{\varepsilon}\to0}[/mm]
>
> [mm]0,368056-0,0002\le e^{-1}\le[/mm] 0,368056
exakter wäre:
[mm]0,368056-0,0002\le e^{-1}\le[/mm] 0,368056-0.0002*1/e
Da man ja 1/e noch nicht kennt könnte man z. Bsp statt dessen 0,3 einsetzen.
Aber es ist oft üblich nur den gößten Fehler anzugeben. wenn man also nen neg. Fehler hat nur den größt vorkommenden anzugeben
> [mm]0,367856\le e^{-1}\le[/mm] 0,368056
>
> Kann mir das jemand erklären?
Ist es was klarer?
Wichtig ist hier
1. der Fehler ist negativ
2. der Fehler ist höchstens 0.0002, da er das auch sein könnte ist die andere Seite uninteressant deshalb habt ihr mit 0 gerechnet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 So 11.01.2009 | | Autor: | Owen |
Hallo leduart,
ja jetzt ist es mir klarer. Hätte noch ne kleine Frage. Angenommen das Vorzeichen von 0,0002 wäre nicht - sondern +. Dann wäre das dann ein Hinweis darauf, dass die siebte Ableitung im Bereich von -1 bis 0 monoton fallend ist, oder? Dann hätte ich ja nicht mit [mm] \le [/mm] abschätzen müssen, sondern mit [mm] \ge. [/mm]
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dann hättest du
ber.Wert [mm] +0\le [/mm] wirklicher [mm] Wert\le [/mm] ber. Wert [mm] +0.002*maxf(\epsilon)
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 11.01.2009 | | Autor: | Owen |
ok, vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 08.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein Restglied kann man immer nur abschätzen, nicht ausrechnen, sonst hätte man ja den exakten Wert.
Du musst also den Wert von [mm] \epsilon [/mm] nehmen, für den das [mm] f^{(n+1)}(\epsilon) [/mm] in dem Intervall am grössten ist, das wäre hier beim Intervall (-1,0) bei 0 also setzt du für weil [mm] e^x [/mm] ja monoton wächst.also setzt du für [mm] f^{(n+1)}(\epsilon) f^{(n+1)}(0) [/mm] ein (für x natürlich -1)
du hast [mm] f^{(n+1)}*\epsilon [/mm] geschrieben, ich hoff das ist nur ein Tippfehler, es heisst [mm] f^{(n+1)}(\epsilon)
[/mm]
Du sagst also der Fehler ist kleiner gleich R(0)
Gruss leduart
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