Taylorpolynom < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Mo 05.01.2009 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm] T_{2} [/mm] ( [mm] f,(x_{0},y_{0}),(1,1)) [/mm] der Funktion
[mm] f:[0,+\infty) \times [/mm] [0, [mm] +\infty) \to \IR [/mm] :(x,y) [mm] \to x^y [/mm] |
Hallo,
ich habe dieses Taylorpolynom bereits ausgerechnet und würde einfach nur gerne wissen ob ich mich irgendwo vertan habe oder ob es wirklich richtig ist. mir kommt das ganze irgendwie etwas lang und komisch vor.
Mein Ergebnis ist :
[mm] T_{2} (f,(x_{0},y_{0}),(1,1)) [/mm] = [mm] x^y( x_{0},y_{0})+(x_{0}-1)* [/mm] y x^(y-1) *(1,1) [mm] +(y_{0}-1) x^y [/mm] ln x (1,1) + [mm] \bruch{1}{2} [(x_{0}-1)^2 [/mm] ( [mm] y^2-1) [/mm] x^(y-2) ( 1,1) +( [mm] x_{0}-1 (y_{0}-1) [/mm] *[x^(y-1) +yx^(y-1) ln x) [mm] +\bruch{1}{2}(y_{0}-1)^2 *(x^y [/mm] ln y *ln y [mm] +x^y [/mm] * [mm] \bruch{1}{y}) [/mm] ( 1,1)]
ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt
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Hallo dadario,
> Berechnen Sie das Taylorpolynom [mm]T_{2}[/mm] (
> [mm]f,(x_{0},y_{0}),(1,1))[/mm] der Funktion
>
> [mm]f:[0,+\infty) \times[/mm] [0, [mm]+\infty) \to \IR[/mm] :(x,y) [mm]\to x^y[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe dieses Taylorpolynom bereits ausgerechnet und
> würde einfach nur gerne wissen ob ich mich irgendwo vertan
> habe oder ob es wirklich richtig ist. mir kommt das ganze
> irgendwie etwas lang und komisch vor.
>
>
> Mein Ergebnis ist :
>
> [mm]T_{2} (f,(x_{0},y_{0}),(1,1))[/mm] = [mm]x^y( x_{0},y_{0})+(x_{0}-1)*[/mm]
> y x^(y-1) *(1,1) [mm]+(y_{0}-1) x^y[/mm] ln x (1,1) + [mm]\bruch{1}{2} [(x_{0}-1)^2[/mm]
> ( [mm]y^2-1)[/mm] x^(y-2) ( 1,1) +( [mm]x_{0}-1 (y_{0}-1)[/mm] *[x^(y-1)
> +yx^(y-1) ln x) [mm]+\bruch{1}{2}(y_{0}-1)^2 *(x^y[/mm] ln y *ln y
> [mm]+x^y[/mm] * [mm]\bruch{1}{y})[/mm] ( 1,1)]
>
Ich nehme mal an [mm]\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right)[/mm] ist der Entwicklungspunkt.
Dann lautet
[mm]T_{2}\left(x,y\right)=[/mm]
[mm]f\left(x_{0},y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-x_{0}\right)[/mm]
[mm]+\bruch{1}{2}f_{xx}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)^{2}+f_{xy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)[/mm]
[mm]+f_{yy}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)^{2}[/mm]
Außerdem stimmen die zweiten partiellen Ableitungen nach x bzw. y nicht.
>
>
> ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 06.01.2009 | | Autor: | dadario |
hallo,
stimmen denn die ersten ableitungen??
nur die definition hinschreiben reicht ja wahrscheinlich nicht aus.
wie muss ich die zweiten partiellen ableitungen denn berechnen? muss ich da irgendeine besonderheit beachten??
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Hallo dadario,
> hallo,
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> stimmen denn die ersten ableitungen??
Ja, die stimmen.
Auch die gemischte zweite partielle Ableitung ( [mm]f_{xy}[/mm] ) stimmt.
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> nur die definition hinschreiben reicht ja wahrscheinlich
> nicht aus.
>
> wie muss ich die zweiten partiellen ableitungen denn
> berechnen? muss ich da irgendeine besonderheit beachten??
Leite die erste partielle Ableitung von x bzw y nach x bzw. y ab:
[mm]f_{xx}=\bruch{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\bruch{\partial}{\partial x}f_{x}[/mm]
[mm]f_{yy}=\bruch{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\bruch{\partial}{\partial y}f_{y}[/mm]
Im Fall der partiellen Ableitungen nach x kannst Du f so stehen lassen.
Im Fall der partiellen Ableitungen nach y schreib f so:
[mm]f\left(x,y\right)=x^{y}=e^{y*\ln\left(x\right)}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 06.01.2009 | | Autor: | dadario |
ah okay.
dann wäre es ja auch sinnvoll für die erste partielle ableitung das [mm] x^y [/mm] umzuschreiben oder ??
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hallo dadario,
ich würde empfehlen, von Anfang an f in der Form
$\ [mm] f(x,y)=e^{y*ln(x)}$ [/mm]
zu schreiben. Ich habe ausserdem einen Weg
versucht, der vielleicht deutlich einfacher zu
bewältigen ist als der über die partiellen Ablei-
tungen.
Weil der Entwicklungspunkt $\ [mm] (x_0,y_0)=(1,1)$ [/mm] ist,
schreibe ich $\ x=1+u$ und $\ y=1+v$ . Dann wird
$\ [mm] f(x,y)=(1+u)^{1+v}=e^{(1+v)*ln(1+u)}=e^T$
[/mm]
Nun benützen wir die Reihendarstellung
$\ [mm] e^T=1+T+\bruch{1}{2}*T^2+\bruch{1}{6}*T^3+ [/mm] .....$
Auch T kann in eine Reihe entwickelt werden:
$\ [mm] T=(1+v)*ln(1+u)=(1+v)*(u-\bruch{1}{2}u^2+\bruch{1}{3}u^3-.....)$
[/mm]
Nun setzt man dies in die Reihendarstellung von [mm] e^T [/mm] ein.
Da wir nur das Taylorpolynom 2.Ordnung brauchen,
kann man die Terme mit höheren Exponenten alle
weglassen und erhält so leicht das Ergebnis.
Gruß Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 06.01.2009 | | Autor: | dadario |
ohje... ich glaub da berechne ich doch lieber die partiellen ableitungen.. mit den entwicklungen komm ich gar nicht klar aber ich schau mir das ganze trotzdem mal an. danke
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> ohje... ich glaub da berechne ich doch lieber die
> partiellen ableitungen.. mit den entwicklungen komm ich gar
> nicht klar aber ich schau mir das ganze trotzdem mal an.
> danke
Wenigstens als Kontrolle des Ergebnisses wird dies
doch ganz nützlich sein !
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Hallo dedario!
Man kann sich hier auch das Differenzieren erleichtern, wenn man dies logarithmisch vornimmt.
$$f(x,y) \ = \ z \ = \ [mm] x^y$$
[/mm]
[mm] $$\ln(z) [/mm] \ = \ [mm] y*\ln(x)$$
[/mm]
Auf der linken Seite ergibt sich hier [mm] $\bruch{z'}{z}$ [/mm] (wobei hier je nach partieller Ableitung $z'_$ durch [mm] $z_x$ [/mm] bzw. [mm] $z_y$ [/mm] zu ersetzen ist).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:10 Di 06.01.2009 | | Autor: | dadario |
so ich hab jetzt nochmals die zweiten partiellen ableitungen berechnet und bekomme dann insgesammt dieses Taylorpolynom:
[mm] T_{2}(x,y)= x^y(x_{0},y_{0})+ (y*x^{y-1})(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})+(lnx +e^{y*lnx})(x_{0},y_{0})(y-x_{0})+\bruch{1}{2} *((y^2-y)+\bruch{1}{x}*x^{y-1})(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})^2 [/mm] + [mm] (2x^{y-1}+y*lnx) (x_{0},y_{0})(x-x_{0})*(y-y_{0})+(lnx*x^y)*(x_{0},y_{0})*(y-y_{0})^2
[/mm]
ist das denn nun richtig?? ich weiß sonst echt nicht wo mein fehler liegt
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> so ich hab jetzt nochmals die zweiten partiellen
> ableitungen berechnet und bekomme dann insgesammt dieses
> Taylorpolynom:
>
> [mm]T_{2}(x,y)= x^y(x_{0},y_{0})+ (y*x^{y-1})(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})+(lnx +e^{y*lnx})(x_{0},y_{0})(y-x_{0})+\bruch{1}{2} *((y^2-y)+\bruch{1}{x}*x^{y-1})(x_{0},y_{0})*(x-x_{0})^2[/mm]
> + [mm](2x^{y-1}+y*lnx) (x_{0},y_{0})(x-x_{0})*(y-y_{0})+(lnx*x^y)*(x_{0},y_{0})*(y-y_{0})^2[/mm]
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> ist das denn nun richtig?? ich weiß sonst echt nicht wo
> mein fehler liegt
Für ein Schlussergebnis solltest du jedenfalls
einmal die Werte [mm] x_0=1 [/mm] und [mm] y_0=1 [/mm] in den
Term einsetzen. Dies vereinfacht ihn gewaltig.
Dann wird es auch möglich, dein Resultat mit
dem auf anderem Weg gewonnenen zu ver-
gleichen.
LG
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