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| Aufgabe | Für die Taylorfunktion t3 dritten Grades an der Stelle x=0 zu der Funktion f, D= R, gilt:
t3(x)= - [mm] (9/10)x^3 [/mm] + (1000/3)x
Beschreiben sie, wie sich aus der funktionsgleichung für t3 die werte f´(0), f´´(0) und f´´´(0) ermitteln lassen, und bestimmen Sie auf diese Weise f´(0),f´´(0) und f´´´(0). Beurteilen Sie folgende Aussage zur Verkehrsdichte: Für 0<x<9 weicht die mit der Taylorfunktion t3 errechnete Verkehrsdichte um höchstens 8 % von der durch die Funktion f gegebene Verkehrsdichte ab. |
ich war länger krank und nicht in der´schule, weil ich grippe hatte. als ich das letzte mal da war hatten wir gerade mit analysis angefangen. nun haben wir diese hausaufgabe bis dienstag auf und ich verstehe nix. ich weiß nicht mal so richtig was eine taylorfunktion ist. in analysis war ich auch leider schon immer sehr schlecht. es wäre ganz toll wenn ihr mir irgendwie helfen könnt diese aufagben zu machen. ich bin kurz vorm abi und kann es mir nicht leisten keine hausaufgaben zu haben.also für jeden tipp, jede vorrechnung etc. bin ich echt dankbar.eine klausur steht nämlich auch bald an )-:
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Hallo Julia1988,
> Für die Taylorfunktion t3 dritten Grades an der Stelle x=0
> zu der Funktion f, D= R, gilt:
> t3(x)= - [mm](9/10)x^3[/mm] + (1000/3)x
>
> Beschreiben sie, wie sich aus der funktionsgleichung für t3
> die werte f´(0), f´´(0) und f´´´(0) ermitteln lassen, und
> bestimmen Sie auf diese Weise f´(0),f´´(0) und f´´´(0).
> Beurteilen Sie folgende Aussage zur Verkehrsdichte: Für
> 0<x<9 weicht die mit der Taylorfunktion t3 errechnete
> Verkehrsdichte um höchstens 8 % von der durch die Funktion
> f gegebene Verkehrsdichte ab.
> ich war länger krank und nicht in der´schule, weil ich
> grippe hatte. als ich das letzte mal da war hatten wir
> gerade mit analysis angefangen. nun haben wir diese
> hausaufgabe bis dienstag auf und ich verstehe nix. ich weiß
> nicht mal so richtig was eine taylorfunktion ist. in
Durch eine Taylorfunktion wird die Funktion f um einen bestimmen Punkt
(dem Entwicklungspunkt, hier x=0) angenähert.
Die Taylorfunktion also nichts anderes als ein Polynom,
welche die Funktion um den Entwicklungspunkt annähert.
Da wir hier eine Taylorfunktion 3. Grades haben, lautet der Ansatz:
[mm]f\left(x\right)=a_{0}+a_{1}*x+a_{2}*x^{2}+a_{3}*x^{3}[/mm]
Um die Koeffizienten jetzt herauszubekommen,
bildest Du den Funktionswert und die Ableitungen am Entwicklungspunkt x=0.
Da hier aber die Koeffzienten vorgegeben sind, kannst Du daraus,
den Funktionswert und die zugehörigen Ableitungen an der Stelle x=0 bestimmen.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Taylorpolynom
> analysis war ich auch leider schon immer sehr schlecht. es
> wäre ganz toll wenn ihr mir irgendwie helfen könnt diese
> aufagben zu machen. ich bin kurz vorm abi und kann es mir
> nicht leisten keine hausaufgaben zu haben.also für jeden
> tipp, jede vorrechnung etc. bin ich echt dankbar.eine
> klausur steht nämlich auch bald an )-:
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 So 15.02.2009 | | Autor: | Julia1988 |
Ich habe den Anfang der Aufgabe übersehen, hier nich mal das was eigentlich an den Anfang muss:
Lange Staus auf den Autobahnen, insbesondere in der Hauptreisezeit, haben wiederholt die Frage nach einer optimalen Fahrgeschwindigkeit aufegweorfen. Bei einer vereinfachten Untersuchung dieser Frage nimmt man an, dass gleich lange Autos mit einer konstanten Geschwindigkeit in einer Kolone fahren. Die Anzahl der Fahrzeuge, die pro Stunde eine Zählstelle passieren, heißt Verkehrsdichte.
Die Funktion f mit
[mm] (1000*x)/(3+0,01*x^2)
[/mm]
und D= R beschreibt für x>0 den Zusammenhang zwischen der Fahrgeschwindigkeit x(in km/h) und der Verkehrsdichte bei Kleinwagen.
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> Für die Taylorfunktion t3 dritten Grades an der Stelle x=0
> zu der Funktion f, D= R, gilt:
> [mm]t3(x)= - (\red{9/10})x^3+ (1000/3)x[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hallo Julia,
ich habe dieses Taylorpolynom anhand der nachge-
lieferten Funktionsgleichung überprüft und festge-
stellt, dass es anders lauten müsste, nämlich:
[mm]t3(x)= - (\blue{10/9})x^3+ (1000/3)x[/mm]
> Beschreiben sie, wie sich aus der funktionsgleichung für t3
> die werte f´(0), f´´(0) und f´´´(0) ermitteln lassen, und
> bestimmen Sie auf diese Weise f´(0),f´´(0) und f´´´(0).
Das Taylorpolynom dritten Grades wird so aufgestellt,
dass es an der Entwicklungsstelle, hier also bei x=0,
mit der gegebenen Funktion im Funktionswert und
in der ersten, zweiten und dritten Ableitung überein-
stimmt. Leite also die gegebene Funktionsgleichung
[mm] f(x)=\bruch{1000*x}{3+\bruch{x^2}{100}} [/mm]
dreimal ab und berechne f(0),f'(0),f''(0),f'''(0).
Nimm zweitens das Polynom
[mm] T(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d
[/mm]
und berechne ebenfalls die Ableitungen und die
Werte T(0),T'(0),T''(0),T'''(0).
Dann setzt du die entsprechenden Terme einander
gleich und kannst daraus die Koeffizienten des
Taylorpolynoms T=t3 berechnen.
Es empfiehlt sich natürlich, dann die Graphen von
f und T anzuschauen und zu vergleichen. Das kannst
du zum Beispiel mit dem Grapher ganz hübsch hinkriegen:
http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm
Gruß Al-Chwarizmi
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| Aufgabe | | siehe anfang und übersehener teil |
also teil 1 habe ich jetzt soweit kapiert. was ich gar nicht kann ist teil 2. also wo man beurteilen soll. wie rechne ich denn das?
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Du hast jetzt also die Gleichungen für f(x) und t3(x).
Eigentlich könnte man jetzt die beiden Funktionen
mit einem Grafikrechner betrachten und nachschauen,
wo und wie groß die größte Diskrepanz ist. Ich vermute
aber, dass du einen anderen Weg gehen musst und
eine analytische Antwort gefragt ist. Da gibt es zwei
Möglichkeiten: Falls Taylorpolynome wirklich behandelt
worden sind, eine Abschätzung durch den entspre-
chenden Fehlerterm "Restglied-Abschätzung", andern-
falls eine kleine Kurvendiskussion der Differenzfunktion
d(x)=f(x)-t3(x)
Frage also: wurde das "Restglied" besprochen ?
LG
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