Taylor sin(x)cos(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
| Aufgabe | Gesucht ist die Taylorreihe (an der Stelle 0) für
[mm]\operatorname{f}(x)=\sin(x)*\cos(x)[/mm] |
Ich bin folgendermaßen vorgegangen und zu folgendem Ergebnis gekommen und würde nun gerne wissen, ob ihr Fehler findet oder Verbesserungsvorschläge hättet:
[mm] \operatorname{f^{(0)}}(x)=\sin(x)*\cos(x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(1)}}(x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=cos(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(2)}}(x)=-2\sin(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(3)}}(x)=-4\cos(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(4)}}(x)=8\sin(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(5)}}(x)=16\cos(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(6)}}(x)=-32\sin(2x)
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(7)}}(x)=-64\cos(2x)
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\\
\cdots\\
\cdots\\
\cdots
\end{matrix}
[/mm]
Dann die Werte an der Stelle 0:
[mm] \operatorname{f^{(0)}}(0)=0
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(1)}}(0)=1
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(2)}}(0)=0
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(3)}}(0)=-4
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(4)}}(0)=0
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(5)}}(0)=16
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(6)}}(0)=0
[/mm]
[mm] \operatorname{f^{(7)}}(0)=-64
[/mm]
[mm] \begin{matrix}
\\
\cdots\\
\cdots\\
\cdots
\end{matrix}
[/mm]
[mm] \operatorname{f(x)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\bruch{\operatorname{f^{(k)}(0)}}{k!}*x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{(-4)^{k}}{(2k+1)!}*x^{(2k+1)}
[/mm]
P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gesucht ist die Taylorreihe (an der Stelle 0) für
> [mm]\operatorname{f}(x)=\sin(x)*\cos(x)[/mm]
> Ich bin folgendermaßen vorgegangen und zu folgendem
> Ergebnis gekommen und würde nun gerne wissen, ob ihr Fehler
> findet oder Verbesserungsvorschläge hättet:
>
> [mm]\operatorname{f^{(0)}}(x)=\sin(x)*\cos(x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(1)}}(x)=\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)=cos(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(2)}}(x)=-2\sin(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(3)}}(x)=-4\cos(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(4)}}(x)=8\sin(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(5)}}(x)=16\cos(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(6)}}(x)=-32\sin(2x)[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(7)}}(x)=-64\cos(2x)[/mm]
> [mm]\begin{matrix}
\\
\cdots\\
\cdots\\
\cdots
\end{matrix}[/mm]
>
> Dann die Werte an der Stelle 0:
>
> [mm]\operatorname{f^{(0)}}(0)=0[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(1)}}(0)=1[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(2)}}(0)=0[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(3)}}(0)=-4[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(4)}}(0)=0[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(5)}}(0)=16[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(6)}}(0)=0[/mm]
> [mm]\operatorname{f^{(7)}}(0)=-64[/mm]
> [mm]\begin{matrix}
\\
\cdots\\
\cdots\\
\cdots
\end{matrix}[/mm]
>
>
> [mm]\operatorname{f(x)}[/mm] =
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{\operatorname{f^{(k)}(0)}}{k!}*x^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{(-4)^{k}}{(2k+1)!}*x^{(2k+1)}[/mm]
Scheint richtig zu sein, aber ich, für meinen Teil, hätte mir die Ableiterei gleich ganz erspart. Und zwar so:
[mm]f(x)=\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}\cdot \summe_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(2x)^{2k+1}=\frac{1}{2}\cdot \summe_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}2^{2k+1}x^{2k+1}=\summe_{k=0}^\infty \frac{(-4)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
Das sieht ja sehr gut aus, aber wie komme ich denn bitte auf deine erste Summenformel?
Ist das die allgemeine Summenformel für [mm] \sin(x)?
[/mm]
Woher die nehme wenn nicht stehlen?
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> Das sieht ja sehr gut aus, aber wie komme ich denn bitte
> auf deine erste Summenformel?
>
> Ist das die allgemeine Summenformel für [mm]\sin(x)?[/mm]
> Woher die nehme wenn nicht stehlen?
Ok, wenn Du diese Reihenentwicklung des Sinus nicht kennst, dann geht's natürlich so nicht, sorry. (Wenn ich eine Frage zu beantworten suche, kann ich mich leider nie auf eine genaue Kenntnis des bereits bekannten Stoffes stützen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
> Scheint richtig zu sein, aber ich, für meinen Teil, hätte
> mir die Ableiterei gleich ganz erspart. Und zwar so:
>
> [mm]f(x)=\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)=\frac{1}{2}\cdot \summe_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(2x)^{2k+1}=\frac{1}{2}\cdot \summe_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot2^{2k+1}x^{2k+1}=\summe_{k=0}^\infty \frac{(-4)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}[/mm]
Ok, die Summenformel für den Sinus steht auch in meiner Formelsammlung so drin, daher denke ich dürfte ich die benutzen.
Aber wie komme ich von deinem Vorletzten auf deinen letzten Schritt?
Ich hänge gerade bei:
[mm]\frac{1}{2}\cdot\summe_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\cdot2^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}=\frac{1}{2}\summe_{k=0}^\infty \frac{(-2)^{3k+1}}{(2k+1)!}x^{2k+1}[/mm]
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Hallo Torsten,
das sind "nur" Potenzgesetze:
[mm] $\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot{}2^{2k+1}\cdot{}x^{2k+1}$
[/mm]
Hier nun die [mm] $\blue{\frac{1}{2}=2^{-1}}$ [/mm] in die Summe "reinholen"
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot{}\blue{2^{-1}}\cdot{}2^{2k+1}\cdot{}x^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot{}2^{2k+1\blue{-1}}\cdot{}x^{2k+1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot{}2^{2k}\cdot{}x^{2k+1}$
[/mm]
Dann ist [mm] $\blue{2^{2k}}=\left(2^2\right)^k=\blue{4^k}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot{}\blue{4^k}\cdot{}x^{2k+1}$
[/mm]
Nun gilt [mm] $a^m\cdot{}b^m=(a\cdot{}b)^m$, [/mm] also [mm] $\blue{(-1)^k\cdot{}4^k=(-4)^k}$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{\blue{(-4)^k}}{(2k+1)!}\cdot{}x^{2k+1}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mi 02.04.2008 | | Autor: | torstenM |
Und das dritte mal Danke innerhalb von einem Tag!!!
Ich werde gleich mal ein paar Euros an dieses Projekt spenden, was besseres habe ich im Internet noch nciht getroffen!
Vielen lieben dank und nochmal liebe Grüße!
Torsten
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Hi Torsten,
> Und das dritte mal Danke innerhalb von einem Tag!!!
>
> Ich werde gleich mal ein paar Euros an dieses Projekt
> spenden, ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Das ist ne super Idee ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
> was besseres habe ich im Internet noch nciht
> getroffen!
>
> Vielen lieben dank und nochmal liebe Grüße!
> Torsten
Ebenfalls liebe Grüße
schachuzipus
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