Taylor mit Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion [mm] f(x)=x^2 \arctan x [/mm]
mit Entwicklungspunkt 0. Was ist der Konvergenzradius der Reihe, und für welche x konvergiert sie gegen f(x) =
(b) Sei [mm] f : \IR \to \IR [/mm] eine viermal stetig differenzierbare Funktion mit [mm] f(0) = -1, \, f'(0)=\bruch {3}{4} , \, f''(0)=0 , \, f'''(0)=-3 [/mm] und [mm]|f^{(4)} (x)| < \bruch {1}{2} [/mm] für [mm] |x| <3 . [/mm]
Finden Sie mithilfe der Taylorschen Formel eine reelle Zahl a und eine möglichst kleine positive Zahl [mm] \delta, [/mm] so dass
[mm] |f(2)-a| < \delta [/mm] |
Zu (a) hab ich erstmal die ersten beiden Ableitungen gebildet und jeweils für x 0 eingesetzt um zu schauen ob ich eine Regelmäßigkeit erkenne:
[mm] f'(x) = 2x*\bruch {-2x}{(1+x^2)^2} + x^2 * arctan x [/mm]
[mm]f''(x)=2x*\bruch {-2x}{(2+x^2)^2} + 2 * \bruch {1}{1+x^2} + 2x * arctan x + x^2 * \bruch {1}{1+x^2}[/mm]
Wenn ich das auf die Taylorformel ( [mm] P(x)= \summe_{k=0}^{n} \bruch {f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^k [/mm]) anwende, bekomme ich P(x)= 0 + 0 + x² .
Leider hab ich da noch nicht so wirklich eine Regelmäßigkeit, die auf eine gesamte Funktion schließen lässt. Bestimme ich den Konvergenzradius mit Hilfe des Wurzelkriteriums oder gibt es da eine bessere Möglichkeit (vielleicht Quotientenkriterium?) wenn ja, wie? MIt welchen Mitteln komme ich auf das x?
Zu (b) hab ich nichtmal ansatzweise eine Idee was ich da genau machen soll.
Sorry, falsche Kategorie (sollte eigentlich in Hochschulmathe, leider krieg ich das nicht mehr geändert!)
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (a) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe der Funktion [mm]f(x)?x^2 arctan x[/mm]
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> mit Entwicklungspunkt 0. Was ist der Konvergenzradius der
> Reihe, und für welche x konvergiert sie gegen f(x) =
> Zu (a) hab ich erstmal die ersten beiden
> Ableitungen gebildet und jeweils für x 0 eingesetzt um zu
> schauen ob ich eine Regelmäßigkeit erkenne:
>
> [mm]f'(x) = [mm] 2x*\bruch {-2x}{(1+x^2)^2} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * arctan x
Hallo,
diese Ableitung stimmt ja nicht.
Du mußt ja f(x)=x^2arctan(x) mit der Produktregel ableiten.
Gruß v. Angela
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OK ich gebe zu, dass die Ableitung von arctan [mm] \bruch {1}{1+x^2} [/mm]ist und das ich da was verdreht hab.
Aber viel weiter bin ich deswegen jetzt auch nicht
Kann mir jemand vielleicht die Vorgehensweise erklären wie man von dem Ableiten und Einsetzen auf eine vollständige Reihe schließen kann?
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> OK ich gebe zu, dass die Ableitung von arctan [mm]\bruch {1}{1+x^2} [/mm]ist
> und das ich da was verdreht hab.
> Aber viel weiter bin ich deswegen jetzt auch nicht
>
> Kann mir jemand vielleicht die Vorgehensweise erklären wie
> man von dem Ableiten und Einsetzen auf eine vollständige
> Reihe schließen kann?
Hallo,
ich hoffe, daß Du weißt, was eine ![[]](/images/popup.gif) Taylorreihe ist.
Du benötigst also erstmal die 1.-n.te Ableitung der Funktion.
Dann berechnest Du sie am Entwicklungspunkt a. In Deinem Fall sollst Du ja im Punkt 0 entwickeln, also ist a=0.
Die Sache kommt mir allerdings auf diesem Weg etwas mühsam vor, daher rate ich Dir, nachzuschauen, ob Du die Reihenentwicklung von arctanx vielleicht schon aus der Vorlesung kennst. Dann ist nämlich die Reihe für x^2arctan(x) nicht mehr weit.
Anschließend, wenn die Reihe steht, ist zu dann überlegen, für welche x sie konvergiert, also dr Konvergenzradius zu bestimmen.
Gruß v. Angela
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Hat jemand auch was zur Aufgabe b) ?
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> Hat jemand auch was zur Aufgabe b) ?
Hast Du jetzt a) gelöst?
Gruß v. Angela
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> (b) Sei [mm]f : \IR \to \IR[/mm] eine viermal stetig
> differenzierbare Funktion mit [mm]f(0) = -1, \, f'(0)=\bruch {3}{4} , \, f''(0)=0 , \, f'''(0)=-3[/mm]
> und [mm]|f^{(4)} (x)| < \bruch {1}{2}[/mm] für [mm]|x| <3 .[/mm]
Hallo,
hier mußt Du zunächst das 3.Taylorpolynom aufstellen für f im Entwicklungspunkt 0 aufstellen.
Für den 2. Teil von b) benötigst Du das Restglied.
Hiermit kannst Du [mm] f(2)-T_3(2) [/mm] abschätzen.
Gruß v. Angela.
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Hi,
hab jetzt das so verstanden, dass ich die Daten alle in eine Taylorreihe gesetzt hab und [mm] f^{(4)} [/mm] das Restglied ist.
Dann hab ich das alles ausgerechnet und hatte dann für a glaub ich -0,5 raus. Stimmt das soweit? Wenn nicht hab ich mich wohl verrechnet ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Do 27.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sesquilinearform
um das "glaub ich"-0,5 zu bestätigen, müsste ja jemand hier deine ganze Aufgabe lösen! Wir sind aber eigentlich nicht sooo aufs rumrechnen versessen! Also korrigieren wir, wenn du sehr unsicher bist deinen Rechenweg, und sonst rechne halt 2 mal.
Gruss leduart
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