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| Aufgabe | a) Entwickeln Sie die Funktion [mm] $f(x,y)=\frac{y-x}{x+y}$ [/mm] um den Punkt [mm] $(x_0, y_0)=(1,1)$ [/mm] in ein Taylor-Polynom 2. Ordnung.
b) Wie groß ist der Fehler dieser Approximation im Punkt $(2,-1.8)$? |
Hallo zusammen,
ich würde gern wissen, ob mein Vorgehen soweit richtig ist. Vielen Dank schon einmal für Eure Hilfe.
zu a)
zuerst habe ich [mm] f(x_0,y_0) [/mm] berechnet:
[mm] f(x_0,y_0)=f(1,1)=\frac{1-1}{1+1}=0
[/mm]
dann habe ich [mm] f_x, f_y, f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] bestimmt:
[mm] $f_x [/mm] = [mm] \frac{-2y}{(x+y)^2}$
[/mm]
[mm] $f_y [/mm] = [mm] \frac{2x}{(x+y)^2}$
[/mm]
[mm] $f_{xx} [/mm] = [mm] \frac{- 2(x-y)}{(x+y)^3}$
[/mm]
[mm] $f_{yy} [/mm] = [mm] \frac{-2(x-y)}{(x+y)^3}-\frac{2}{(x+y)^2}$
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $T_2(x,y) [/mm] = 0 + [mm] \frac{-1}{2}*(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*(x-1)^2+2(0+\frac{1}{2}*(y-1)^2))$
[/mm]
[mm] $T_2(x,y) [/mm] = [mm] \frac{-1}{2}*x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*y-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*(x-1)^2+\frac{1}{2}*(y-1)^2)$
[/mm]
[mm] $T_2(x,y) [/mm] = [mm] \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}-x+\frac{1}{2}$
[/mm]
für b) habe ich:
[mm] $R_n(x,y)=f(x,y)-T_2(x,y)$
[/mm]
[mm] $f(2,-1.8)=\frac{-1.8-2}{2-1.8} [/mm] = -19$
[mm] $T(2,-1.8)=1+\frac{3.24}{4}-2+\frac{1}{2} [/mm] = 0.31$
Ist nun der Fehler [mm] $R_n(2,-1.8)=-19.31$??
[/mm]
Vielen Dank!
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Hallo theghostdog,
> a) Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x,y)=\frac{y-x}{x+y}[/mm] um
> den Punkt [mm](x_0, y_0)=(1,1)[/mm] in ein Taylor-Polynom 2.
> Ordnung.
> b) Wie groß ist der Fehler dieser Approximation im Punkt
> [mm](2,-1.8)[/mm]?
> Hallo zusammen,
>
> ich würde gern wissen, ob mein Vorgehen soweit richtig
> ist. Vielen Dank schon einmal für Eure Hilfe.
>
> zu a)
>
> zuerst habe ich [mm]f(x_0,y_0)[/mm] berechnet:
>
> [mm]f(x_0,y_0)=f(1,1)=\frac{1-1}{1+1}=0[/mm]
>
> dann habe ich [mm]f_x, f_y, f_{xx}[/mm] und [mm]f_{yy}[/mm] bestimmt:
>
> [mm]f_x = \frac{-2y}{(x+y)^2}[/mm]
>
> [mm]f_y = \frac{2x}{(x+y)^2}[/mm]
>
> [mm]f_{xx} = \frac{- 2(x-y)}{(x+y)^3}[/mm]
Das ist die gemischte 2. partielle Ableitung [mm]f_{xy}[/mm]
>
> [mm]f_{yy} = \frac{-2(x-y)}{(x+y)^3}-\frac{2}{(x+y)^2}[/mm]
Es fehlt [mm]f_{xx}[/mm].
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]T_2(x,y) = 0 + \frac{-1}{2}*(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)+\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*(x-1)^2+2(0+\frac{1}{2}*(y-1)^2))[/mm]
>
> [mm]T_2(x,y) = \frac{-1}{2}*x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*y-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}*(x-1)^2+\frac{1}{2}*(y-1)^2)[/mm]
>
> [mm]T_2(x,y) = \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}-x+\frac{1}{2}[/mm]
Das muss Du nochmal nachrechnen.
>
> für b) habe ich:
>
> [mm]R_n(x,y)=f(x,y)-T_2(x,y)[/mm]
>
> [mm]f(2,-1.8)=\frac{-1.8-2}{2-1.8} = -19[/mm]
>
> [mm]T(2,-1.8)=1+\frac{3.24}{4}-2+\frac{1}{2} = 0.31[/mm]
>
> Ist nun der Fehler [mm]R_n(2,-1.8)=-19.31[/mm]??
Nein. Vorgehensweise ist aber korrekt.
>
> Vielen Dank!
>
>
Gruss
MathePower
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