Taylor-Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 19.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5 an der Stelle [mm] x_{0}=\bruch{\pi}{2}. [/mm] |
Hallo,
möchte obiges Taylor-Polynom berechnen. Hier mein Lösungsvorschlag:
Verwendete Formel:
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)
[/mm]
wobei [mm] R_{n+1}(x)=\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt
[/mm]
Bei mir sieht das nun so aus:
[mm] \summe_{k=0}^{5}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})^{(k)}}{k!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{k}=\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{0!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{0}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{1!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{1}+\bruch{-sin(\bruch{\pi}{2})}{2!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{-cos(\bruch{\pi}{2})}{3!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{3}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{4!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}=\bruch{1}{24}x^{4}-\bruch{\pi}{12}x^{3}+\bruch{281}{2400}x^{2}+\bruch{\pi}{2}x+\bruch{23}{1200}
[/mm]
Ist da irgendwas richtiges dabei????
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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> Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5 an
> der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> Hallo,
>
> möchte obiges Taylor-Polynom berechnen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> Verwendete Formel:
>
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)[/mm]
>
> wobei
> [mm]R_{n+1}(x)=\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/mm]
>
> Bei mir sieht das nun so aus:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{5}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})^{(k)}}{k!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{k}=\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{0!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{0}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{1!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{1}+\bruch{-sin(\bruch{\pi}{2})}{2!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{-cos(\bruch{\pi}{2})}{3!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{3}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{4!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}=\bruch{1}{24}x^{4}-\bruch{\pi}{12}x^{3}+\bruch{281}{2400}x^{2}+\bruch{\pi}{2}x+\bruch{23}{1200}[/mm]
>
> Ist da irgendwas richtiges dabei????
>
> Danke schonmal.
>
> Grüße
> Ali
Hallo Ali,
möglicherweise stimmt da schon einiges davon.
Es macht aber nicht wirklich Sinn, dass du dabei die
entstehenden Potenzen von [mm] $\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
ausmultiplizierst !
Zeige also den Term nochmals als Polynom des Terms
[mm] $\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] !
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Fr 19.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5 an
> > der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> > Hallo,
> >
> > möchte obiges Taylor-Polynom berechnen. Hier mein
> > Lösungsvorschlag:
> >
> > Verwendete Formel:
> >
> >
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)[/mm]
> >
> > wobei
> >
> [mm]R_{n+1}(x)=\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/mm]
> >
> > Bei mir sieht das nun so aus:
> >
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{5}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})^{(k)}}{k!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{k}=\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{0!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{0}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{1!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{1}+\bruch{-sin(\bruch{\pi}{2})}{2!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{-cos(\bruch{\pi}{2})}{3!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{3}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{4!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}=\bruch{1}{24}x^{4}-\bruch{\pi}{12}x^{3}+\bruch{281}{2400}x^{2}+\bruch{\pi}{2}x+\bruch{23}{1200}[/mm]
> >
> > Ist da irgendwas richtiges dabei????
> >
> > Danke schonmal.
> >
> > Grüße
> > Ali
>
>
> Hallo Ali,
>
> möglicherweise stimmt da schon einiges davon.
> Es macht aber nicht wirklich Sinn, dass du dabei die
> entstehenden Potenzen von [mm]\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
> ausmultiplizierst !
>
> Zeige also den Term nochmals als Polynom des Terms
> [mm]\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/mm] !
Ok. Cool.
Hat mich auch total aufgeregt dieses ständige ausmultiplizieren...
Sieht also so aus:
... = [mm] 1+0-\bruch{1}{2}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+0+\bruch{1}{24}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+0
[/mm]
Und nun?
>
> LG , Al-Chw.
>
Lg Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Helbig |
> > > Berechnen Sie das Taylor-Polynom von sin(x) vom Grad 5 an
> > > der Stelle [mm]x_{0}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
> > > Hallo,
> > >
> > > möchte obiges Taylor-Polynom berechnen. Hier mein
> > > Lösungsvorschlag:
> > >
> > > Verwendete Formel:
> > >
> > >
> >
> [mm]f(x)=\summe_{k=0}^{n}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}*(x-a)^{k}+R_{n+1}(x)[/mm]
> > >
> > > wobei
> > >
> >
> [mm]R_{n+1}(x)=\bruch{1}{n!}\integral_{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt[/mm]
> > >
> > > Bei mir sieht das nun so aus:
> > >
> > >
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{5}\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})^{(k)}}{k!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{k}=\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{0!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{0}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{1!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{1}+\bruch{-sin(\bruch{\pi}{2})}{2!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{-cos(\bruch{\pi}{2})}{3!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{3}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{2})}{4!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+\bruch{cos(\bruch{\pi}{2})}{5!}*(x-\bruch{\pi}{2})^{5}=\bruch{1}{24}x^{4}-\bruch{\pi}{12}x^{3}+\bruch{281}{2400}x^{2}+\bruch{\pi}{2}x+\bruch{23}{1200}[/mm]
> > >
> > > Ist da irgendwas richtiges dabei????
> > >
> > > Danke schonmal.
> > >
> > > Grüße
> > > Ali
> >
> >
> > Hallo Ali,
> >
> > möglicherweise stimmt da schon einiges davon.
> > Es macht aber nicht wirklich Sinn, dass du dabei die
> > entstehenden Potenzen von
> [mm]\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
> > ausmultiplizierst !
> >
> > Zeige also den Term nochmals als Polynom des Terms
> > [mm]\left(x-\frac{\pi}{2}\right)[/mm] !
>
> Ok. Cool.
>
> Hat mich auch total aufgeregt dieses ständige
> ausmultiplizieren...
>
> Sieht also so aus:
>
> ... =
> [mm]1+0-\bruch{1}{2}*(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+0+\bruch{1}{24}*(x-\bruch{\pi}{2})^{4}+0[/mm]
>
> Und nun?
Fertig!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:15 Sa 20.04.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hehehe.... Cool. Danke :-D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung: wenn ich eine Funktion schon auf ganz [mm] \IR [/mm] als Potenzreihe gegeben habe und wenn es Umrechnungsformeln und Additionstheoreme etc.... gibt und wenn ich schon eine Entwicklungsstelle wie [mm] \pi/2 [/mm] habe, dann spar ich mir da Leiden mit dem Ableiden (!):
$sin(x)=sin(x- [mm] \bruch{\pi}{2}+ \bruch{\pi}{2})=cos(x- \bruch{\pi}{2})$
[/mm]
$= [mm] 1-\bruch{1}{2!}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{4!}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4} \pm [/mm] .....$
Jetzt breche ich nach der 5. Potenz ab und erhalte das Verlangte:
$ [mm] 1-\bruch{1}{2}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{2}+\bruch{1}{24}\cdot{}(x-\bruch{\pi}{2})^{4}$
[/mm]
FRED
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