Taylor-Polynom < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:12 Sa 25.07.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | Bestimme Taylor-Polynom 4. Grades um den Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] für die Funktionen:
[mm] f:\IR\to\IR, f(x)=x^2+2x+2, x_{0}=-1
[/mm]
[mm] g:\IR\to\IR, g(x)=sin(2x-\pi)+x, x_{0}=\pi
[/mm]
|
Hi,
ich habe Taylor-Polynom so verstanden: Mit jedem Grad der Entwicklung kommt man der anzunähernden Funktion näher, man wird diese aber nicht erreichen, erst wenn Taylor-Polynom unendlich lange entwickelt wird gilt:
f(x)=Taylor-Polynom [mm] \infty-Grades.
[/mm]
nun, wenn man die Anweisung zum Bilden des Taylors ausführt und bereits nach dem 2.Grad stellt man fest: f(x)=Taylor!
Kann es sein ,dass wenn Taylor-Grad=f(x)-Grad der Taylor genau die Funktion beschreib die man annähert?
Kann es aber sein, dass meine Aussage von oben auf g(x) zutrifft, denn durch sich immer wiederholenden Sinus kann es ja nie durch ein Polynom endlichen Grades beschrieben werden, sondern nur angenähert werden kann?
Sagt ob ich recht habe?
Gruesse
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Sa 25.07.2009 | | Autor: | wogie |
> Bestimme Taylor-Polynom 4. Grades um den Entwicklungspunkt
> [mm]x_{0}[/mm] für die Funktionen:
>
> [mm]f:\IR\to\IR, f(x)=x^2+2x+2, x_{0}=-1[/mm]
>
> [mm]g:\IR\to\IR, g(x)=sin(2x-\pi)+x, x_{0}=\pi[/mm]
>
> Hi,
>
> ich habe Taylor-Polynom so verstanden: Mit jedem Grad der
> Entwicklung kommt man der anzunähernden Funktion näher,
> man wird diese aber nicht erreichen, erst wenn
> Taylor-Polynom unendlich lange entwickelt wird gilt:
> f(x)=Taylor-Polynom [mm]\infty-Grades.[/mm]
>
> nun, wenn man die Anweisung zum Bilden des Taylors
> ausführt und bereits nach dem 2.Grad stellt man fest:
> f(x)=Taylor!
>
> Kann es sein ,dass wenn Taylor-Grad=f(x)-Grad der Taylor
> genau die Funktion beschreib die man annähert?
Ja. Das gilt auch für alle Polynome endlichen Grades. De facto ist dieses Beispiel eher akademisch, in realen Anwendungen würde man selten eine Taylor-Entwicklung eines Polynoms vornehmen ;)
> Kann es aber sein, dass meine Aussage von oben auf g(x)
> zutrifft, denn durch sich immer wiederholenden Sinus kann
> es ja nie durch ein Polynom endlichen Grades beschrieben
> werden, sondern nur angenähert werden kann?
Yo, das kann man sich so vorstellen. Allerdings solltest du im Hinterkopf haben, dass die volle Taylorentwicklung (soweit sie sinnvoll ist) exakt ist und keine Näherung.
Mfg
|
|
|
| |
|
>
> ich habe Taylor-Polynom so verstanden: Mit jedem Grad der
> Entwicklung kommt man der anzunähernden Funktion näher,
> man wird diese aber nicht erreichen, erst wenn
> Taylor-Polynom unendlich lange entwickelt wird gilt:
> f(x)=Taylor-Polynom [mm]\infty-Grades.[/mm]
>
Hallo, diese Aussage ist falsch! Das gilt nur für analytische Funktionen. Eine nicht analytische Funktion ist zum Beispiel:
[mm] f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
Hier ist das Taylorpolynom um [mm] x_0=0 [/mm] ist [mm] \equiv [/mm] 0, aber die Funktion ist offenbar von Null verschieden.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 Sa 25.07.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{für } x\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hier ist das Taylorpolynom um [mm]x_0=0[/mm] ist [mm]\equiv[/mm] 0, aber die
> Funktion ist offenbar von Null verschieden.
>
Ähm.. vielleicht steh ich grad aufm Schlauch.. aber nach deiner Definition der Funktion ist f(0) = 0...
> Gruß Patrick
Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Sa 25.07.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Im Nullpunkt passt es ja auch. Aber für jeden anderen Punkt stimmt die Funktion nicht mit dem Taylorpolynom überein, welches um Null entwickelt wurde.
|
|
|
|
