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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Sa 17.06.2006 | | Autor: | papillon |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie das Taylorpolynom f(x)=ln(cos x) im punkt 0 bis zu Termen der Ordnung [mm] O(x^{6}) [/mm] |
Die ableitungen bestimmen und dann in die formel einsetzen ist kein problem, aber doch mühsam.
Ich habe gehört, es gibt da eine möglichkeit auf bekannte taylor entwicklungen zurückzugreifen. Wie geht das denn, kann ich das hier anwenden?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Sa 17.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die 1. Ableitung ist doch -tanx, wenn die Reihe bekannt ist kannst du sie einfach integrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Sa 17.06.2006 | | Autor: | papillon |
Wir können aber eigentlich noch nicht integrieren, das kommt erst noch in der vorlesung.
Gibt es keine andere Möglichkeit?
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Nun, wenn du die Reihe von ln und cos kennst, kannst du ja die cos-Reihe in die ln-Reihe einsetzen.
Also:
Schreib eine Talyorreihe von ln(z) und cos(x) hin, und setze für z die Taylorreihe von cos ein. Danach vereinfachst du das Polynom schön, und streichst alle höheren Ordnungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 So 18.06.2006 | | Autor: | papillon |
ja, sowas hatte ich mir vorgestellt. Aber leider komme ich da nicht auf das richtige ergebnis.
Ich habe folgendes gemacht:
1. Ich habe die ln z Taylor reihe bis zur 6.Ordnung aufgeschrieben.
2. dann die cos z taylor reihe bis zur 6. Ordnung aufgeschrieben.
3. die cos reihe in die ln reihe eingesetzt.
Hast du dir den entstandenen term mal angeschaut? Wie soll man das denn vereinfachen??? Und gibt es überhaupt eine ln reihe um 0? Das geht doch eigentlich gar nicht.
Kann mir einer noch weiter helfen? Danke!
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Also
[mm] $\cos x=1-\bruch{1}{24}x^2+\bruch{1}{24}x^4$
[/mm]
Bedenke: der cos um 0 liefert Werte um 1. Demnach solltest du den ln um 1 entwickeln, also etwa so:
[mm] $\ln(z+1)=z-\bruch{1}{2}z^2+\bruch{1}{3}z^3-\bruch{1}{4}z^4+\bruch{1}{5}z^5$
[/mm]
Hier wird z um 0 entwickelt, also der ln um 1.
Da nun (z+1)=cos(x) sein soll, ist [mm] $z=\cos(x)-1=-\bruch{1}{24}x^2+\bruch{1}{24}x^4$
[/mm]
Also:
[mm] $z=-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{24}x^4+O(x^6)$
[/mm]
[mm] $z^2=\bruch{1}{4}x^4+O(x^6)$
[/mm]
[mm] $z^3=0+O(x^6)$
[/mm]
[mm] $z^4=0+O(x^8)$
[/mm]
(Nur die Terme berechnen, die von kleinerer Ordnung sind, den Rest einfach vergessen!)
[mm] $\ln(z+1)=\left[ -\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{24}x^4\right] -\bruch{1}{2}\left[ \bruch{1}{4}x^4\right] +O(x^6)$
[/mm]
Nun noch ein wenig sortieren, und fertig.
Der Trick bei sowas ist, alle Terme, die höhere Ordnungen erzeugen, sofort zu vergessen, sonst hast du zu viel zu tun.
Ach ja, ich habs mal geplottet. Bis x=0.7 liegt der Fehler unter 2%, selbst bis x=1 ist das noch ne sehr gute Näherung!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 18.06.2006 | | Autor: | papillon |
Vielen dank erst mal, das hat mir echt schon unglaublich weitergeholfen. Ich dachte es mir so ähnlich, aber ich wusste nicht, dass ich den ln um 1 entwickeln muss. Leuchtet mir dank deiner erklärung aber völlig ein.
Ein problem habe ich aber noch: Ich muss die terme der ordnung [mm] x^6 [/mm] noch mit ausrechnen, es sollte also am ende dastehen:
[mm] -\bruch{1}{2}x^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{12}x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{45}x^{6} [/mm] + [mm] O(x^{7})
[/mm]
Bis zu den [mm] x^{4} [/mm] stimmt auch alles, aber auf den faktor 1/45 komme ich nicht? was mache ich falsch? Das war dann auch bestimmt das letzte mal dass ich was zu dieser aufgabe frage, aber es ist echt wichtig für mich!
Danke!
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da kann ich dir nicht helfen, da mußt du einen kleinen Rechenfehler haben, ich hab das auch raus gehabt.
Übrigens: wenn du dir die Rechnung anschaust, siehst du, daß alle ungraden Ordnungen verschwinden, demnach kannst du sogar ein [mm] $O(x^8)$ [/mm] dahinter schreiben! (ist ja eigentlich klar, der cos macht die Funktion grade)
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