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Hallo,
ich habe eine Frage zur Taylor-Entwicklung.
Die Taylor-Entwicklung setzt sich ja aus der Taylor-Reihe und dem Restglied zusammen.
Nun habe ich im Skript beispielsweise stehen:
Die Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion exp(x) um [mm] x_0=0 [/mm] lautet:
exp(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n}(1/k!)*x^k [/mm] + [mm] O(x^{n+1}).
[/mm]
Das [mm] O(x^{n+1}) [/mm] bezieht sich ja aufs Restglied. Heißt das, dass exp(x) = [mm] \summe_{k=1}^{n}(1/k!)*x^k [/mm] die Taylor-Reihe ist mit max. Abweichung um den Faktor [mm] O(x^{n+1})?
[/mm]
Liebe Grüße
sommersonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:03 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Nein, es ist nicht die Taylorreihe, sondern die Taylorentwicklung bis zum n-ten Grad. Die Taylorreihe ginge bis Unendlich und in diesem Falle würde das Restglied Null sein (da die Exponentialfunktion analytisch ist). Das heisst aber nicht, dass bei jeder Funktion das Restglied Null ist, wenn man die Entwicklung bis Unendlich macht.
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Hallo Merle23,
vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt fällt mir erst so richtig der Unterschied zwischen Entwicklung und Reihe auf. Aber wofür ist bei der Entwicklung dann das + [mm] O(x^{n+1}) [/mm] da?
Liebe Grüße
sommersonne
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Hallo,
die O-Notation ist mir aus der Informatik bekannt, allerdings habe ich sie bisher nur bei Algorithmen angewendet. Daher dachte ich, dass damit eine Angabe zum Fehler bei der Taylor-Entwicklung zuaddiert wird, also dass die Taylor-Entwicklung minimal der Taylor-Reihe entspricht, wenn man die Taylor-Entwicklung ohne das [mm] O(x^{n+1}) [/mm] betrachtet und maximal von der Taylor-Reihe mit [mm] x^{n+1} [/mm] abweicht.
Liebe Grüße
sommersonne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mo 25.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Das [mm] O(x^{n+1}) [/mm] steht für den Fehlerterm bei der Taylorentwicklung.
Eigentlich müsste da ja [mm] \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}x^{n+1} [/mm] stehen, wobei f eben die Funktion ist (in unserem Falle die Exponentialfunktion) und [mm] \zeta [/mm] irgendeine Zahl zwischen dem Entwicklungspunkt und x.
Und wenn man an dem konkreten Vorfaktor [mm] \frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!} [/mm] nicht interessiert ist, dann schreibt man einfach [mm] O(x^{n+1}).
[/mm]
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