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| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve f: [0,2]$ [mm] \to \IR^{3} [/mm] $ mit f(t) = ($ [mm] (\wurzel{5-t^{2}}, [/mm] $,t, [mm] t^2-4t).Auf [/mm] der Spur liegt (2,1,-3)
1. Berechnen Sie dort den Tangentialvektor
2. Berechnen Sie dort auch den Tangentialeinheitsvektor.
3. Geben Sie auch einen Normalenvektor an.
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So, zu 1) habe f'(t) gebildet
[mm] f'(t)=\left(\frac{-t}{\sqrt{5-t^2}},1,2t-4\right) [/mm] und dann die jeweiligen Punkte(?) mit dem gegebenen Wert gleichgesetzt und habe heraus:$ [mm] v=\vektor{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1/2} [/mm] $
Ist das richtig?
Zu 2) Hier hatten wir eine Formel für den Tangentialeinheitsvektor: $ [mm] \bruch{y}{ \parallel y \parallel} [/mm] $, wobei y=f'(t) ist
habe irgendwie ein Problem damit, wenn ich [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel [/mm] bilden möchte, dann erhalte ich [mm] \wurzel{3/2} [/mm] und wie teile ich den Tangentialvektor dadurch? Habe ein Problem mit dem n-dimensionalen Raum...kann mir da wer helfen, wie ich das richtig ausrechne?
Zu 3) Ich habe folgendes gemacht:
$ [mm] \vektor{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1/2}\cdot{}\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}=0 [/mm] $ =$ [mm] \gdw -\frac{1}{2}n_1+n_2+(1/2)n_3=0 [/mm] $
Also wäre ein Normalenvektor zum beispiel (4,3,2), weil damit die Gleichung ja erfüllt würde...
Ich bitte um Hilfe
Gruß TheBozz-mismo
PS:ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
> So, zu 1) habe f'(t) gebildet
> [mm]f'(t)=\left(\frac{-t}{\sqrt{5-t^2}},1,2t-4\right)[/mm] und dann
> die jeweiligen Punkte(?) mit dem gegebenen Wert
> gleichgesetzt und habe heraus:[mm] v=\vektor{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1/2}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Das mit den Punkten verstehe ich nicht. Der eine gegebene Punkt wird von der Kurve doch erreicht, wenn t=1 ist, das mußt du in die Ableitung einsetzen. Die z-Komponente wäre dann übrigens 2, nicht 1/2. Aber der Rest stimmt.
> Zu 2) Hier hatten wir eine Formel für den
> Tangentialeinheitsvektor: [mm]\bruch{y}{ \parallel y \parallel} [/mm],
> wobei y=f'(t) ist
>
> habe irgendwie ein Problem damit, wenn ich [mm]\parallel[/mm] y
> [mm]\parallel[/mm] bilden möchte, dann erhalte ich [mm]\wurzel{3/2}[/mm] und
> wie teile ich den Tangentialvektor dadurch? Habe ein
> Problem mit dem n-dimensionalen Raum...kann mir da wer
> helfen, wie ich das richtig ausrechne?
Komponentenweise. [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] hat die Länge [mm] \sqrt{3}. [/mm] Teilt man alle Komponenten dadurch, hat man [mm] \vektor{\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}}, [/mm] was die Länge 1 hat.
>
> Zu 3) Ich habe folgendes gemacht:
> [mm]\vektor{-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 1/2}\cdot{}\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3}=0[/mm]
> =[mm] \gdw -\frac{1}{2}n_1+n_2+(1/2)n_3=0[/mm]
> Also wäre ein
> Normalenvektor zum beispiel (4,3,2), weil damit die
> Gleichung ja erfüllt würde...
Ja richtig. Allgemein hast du in 3D eine ganze Ebene, die zu einem Vektor senkrecht sein kann, und du hast dir einen Vektor aus dieser Ebene ausgesucht.
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> Ich bitte um Hilfe
> Gruß TheBozz-mismo
>
> PS:ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Erstmal vielen Dank, aber ich habe noch zwei Fragen:
1) Kannst du mir erklären, wie du auf t=1 kommst und warum man das in die Ableitung einsetzen muss, weil wenn wie du gesagt hast, der Punkt da auf der Kurve liegt, was hat das dann mit der Abelitung zu tun?
2)Zum Tangentialeinheitsvektor:
Also ich komme dann auf $ [mm] \vektor{\frac{-1/2}{\sqrt{3/2}}\\ \frac{1}{\sqrt{3/2}}\\ \frac{2}{\sqrt{3/2}}}, [/mm] $ und dann bin ich schon fertig damit? Also mir fällt jetzt nicht ein, wie man das vereinfachen könnte.
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo The Bozz-mismo,
> Erstmal vielen Dank, aber ich habe noch zwei Fragen:
> 1) Kannst du mir erklären, wie du auf t=1 kommst
Nun, der Punkt [mm] $(2,1,-3)^T$ [/mm] liegt genau für den Parameterwert $t=1$ auf der Spur, denn [mm] $f(1)=\ldots=(2,1,-3)^T$
[/mm]
"Der Funktionswert [mm] $(2,1,-3)^T$ [/mm] wird an der (Parameter-)Stelle $t=1$ angenommen ..."
> und warum man das in die Ableitung einsetzen muss, weil wenn
> wie du gesagt hast, der Punkt da auf der Kurve liegt, was
> hat das dann mit der Abelitung zu tun?
Du betrachtest die Parameterstelle $t=1$, für die der gegebene Punkt auf der Spur liegt
> 2)Zum Tangentialeinheitsvektor:
> Also ich komme dann auf [mm]\vektor{\frac{-1/2}{\sqrt{3/2}}\\ \frac{1}{\sqrt{3/2}}\\ \frac{2}{\sqrt{3/2}}},[/mm]
> und dann bin ich schon fertig damit? Also mir fällt jetzt
> nicht ein, wie man das vereinfachen könnte.
Hmm, der Tangentialvektor ist doch [mm] $\left(-\frac{1}{2},1,\red{-}2\right)^T$, [/mm] ich glaube, da ist oben ein Vorzeichenfahler ...
Der hat doch die Länge [mm] $\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{\frac{1+4+16}{4}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$
[/mm]
Wie kommst du auf [mm] $\sqrt{\frac{3}{2}}$ [/mm] ?
>
> Vielen Dank
> Gruß
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
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Vielen lieben Dank für deine ausfürliche Antwort...bei 2. hatte ich mit dem falschen Tangentialvektor gerechnet, deshalb hatte ich auch $ [mm] \sqrt{\frac{3}{2}} [/mm] $ heraus
Ok, also wenn ich jetzt den Tangentialvektor durch die Länge, die du ausgerechnet hast, teile, bekomme ich
[mm] \begin{pmatrix} \bruch{-1}{\wurzel{21}} \\ \bruch{2}{\wurzel{21}} \\ \bruch{-4}{\wurzel{21}} \end{pmatrix}
[/mm]
Ist das dann der Tangentialeinheitsvektor?
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt ists richtig.
gruss leduart
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Vielen Dank für eure Hilfe
gruß
TheBozz-mismo
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