Tangentialebenen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Mo 18.06.2007 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | Die Schnittkurve der beiden Flächen
$z = f(x, y) := [mm] 2x^3 [/mm] y - [mm] x^2 y^3; [/mm] z = g(x, y) := [mm] 3xy^3 [/mm] + [mm] x^3 y^2 [/mm] - 5$
durchstößt die (x, y)-Ebene in der Nähe des Punktes a := (1, 1) .
Zur Verbesserung dieses Wertes bestimme man die Tangentialebenen von f und g in a und den Schnittpunkt b der Schnittgeraden dieser Ebenen mit der Ebene z = 0 .
Berechnen Sie f(b) und g(b) und iterieren Sie dies Verfahren einmal. |
Hallo.
Ich habe folgendermaßen begonnen:
[mm] $f_x(x,y) [/mm] = [mm] 6x^2 y-2xy^3$
[/mm]
[mm] $f_y(x,y) [/mm] = [mm] 2x^3-3x^2 y^2$
[/mm]
[mm] $g_x(x,y) [/mm] = [mm] 3y^3 [/mm] + [mm] 3x^2 y^2$
[/mm]
[mm] $g_y(x,y) [/mm] = [mm] 9xy^2 +2x^3 [/mm] y$
Die Tangentialebene berechne ich hier mit:
[mm] $E_T [/mm] = [mm] f(x_0,y_0) [/mm] + [mm] f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$
[/mm]
Also:
[mm] $E_f [/mm] = 1+4(x-1)-1(y-1) = 4x-y-2$ und
[mm] $E_g [/mm] = -1+6(x-1)+11(y-1) = 6x+11y-8$
So, die Schnittgerade müsste ja dann sein: $g=2x+12y-6$
Oder müsste es heißen: $g: 3x+12y-6=0$
Was heißt jetzt Schnittpunkt b der Schnittgeraden dieser Ebenen mit der Ebene z = 0.
Was ist z=0 und wie berechne ich das?
Danke für Tipps und Hilfe
Peter
|
|
| |
|
> Die Schnittkurve der beiden Flächen
> [mm]z = f(x, y) := 2x^3 y - x^2 y^3; z = g(x, y) := 3xy^3 + x^3 y^2 - 5[/mm]
>
> durchstößt die (x, y)-Ebene in der Nähe des Punktes a :=
> (1, 1) .
> Zur Verbesserung dieses Wertes bestimme man die
> Tangentialebenen von f und g in a und den Schnittpunkt b
> der Schnittgeraden dieser Ebenen mit der Ebene z = 0 .
> Berechnen Sie f(b) und g(b) und iterieren Sie dies
> Verfahren einmal.
> Hallo.
> Ich habe folgendermaßen begonnen:
>
> [mm]f_x(x,y) = 6x^2 y-2xy^3[/mm]
> [mm]f_y(x,y) = 2x^3-3x^2 y^2[/mm]
>
> [mm]g_x(x,y) = 3y^3 + 3x^2 y^2[/mm]
> [mm]g_y(x,y) = 9xy^2 +2x^3 y[/mm]
>
> Die Tangentialebene berechne ich hier mit:
> [mm]E_T = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)[/mm]
Wie wärs mit [mm]z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)[/mm]?
> Also:
> [mm]E_f = 1+4(x-1)-1(y-1) = 4x-y-2[/mm] und
> [mm]E_g = -1+6(x-1)+11(y-1) = 6x+11y-8[/mm]
Was soll das erste Gleichheitszeichen hier eigentlic bedeuten? Wo ist Deine [mm]z[/mm]-Koordinate hingekommen?
> So, die Schnittgerade müsste ja dann sein: [mm]g=2x+12y-6[/mm]
> Oder müsste es heißen: [mm]g: 3x+12y-6=0[/mm]
>
> Was heißt jetzt Schnittpunkt b der Schnittgeraden dieser
> Ebenen mit der Ebene z = 0.
Ja eben: die Schnittgerade der beiden Tangentialebenen sollte natürlich nicht schon in der x/y-Ebene liegen. Ich denke: Du musst zuerst die Tangentialebenen und dann deren Schnittgerade (in Parameterform) richtig berechnen.
> Was ist z=0 und wie berechne ich das?
Dies ist einfach die xy-Ebene (erste Koordinatenebene).
Deren Ebenengleichung in der Koordinatenform ist ja 0x+0y+z=0, kurz: z=0.
|
|
|
|
